La Cissoide

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La Cissoide

Le risposte al punto 1) si trovano facilmente su vari testi. Si è preferito far riferimento ad uno dei testi più classici: ' La geometria analitica. I

Le risposte al punto 1) si trovano facilmente su vari testi. Si è preferito far riferimento ad uno dei testi più classici: ‘ La geometria analitica. Il metodo delle coordinate‘ di Luigi Berzolari. Manuali Hoepli Serie Scientifica 388-389. Ulrico Hoepli Editore-Libraio Della Real Casa Milano- 1911.

«La curva detta cissoide  fu immaginata da Diocle ( 2° secolo a. C.) per risolvere il celebre problema di Delo, o della duplicazione del cubo, che consiste nel costruire un cubo di volume doppio di quello dato.

A definirla si prenda una circonferenza di raggio r, si fissi su essa un punto O e nel punto A  diametralmente opposto si tiri la tangente AT.  Condotta per O una retta qualunque, che incontri AT in  H,  si por ti su essa un segmento OP, che in valore e segno sia uguale ad MH. Il luogo del punto P  quando la retta ruota intorno ad O, è la cissoide.

Se ne trova facilmente l’equazione in coordinate cartesiani ortogonali, prendendo O come origine e la retta OA come asse x. Si ha

ossia posto MN=K,

Ma i triangoli simili OQP, ONM danno

Eliminando tra le (1) e le (2) il parametro k, risulta l’equazione cercata

Segue da essa, ed è geometricamente evidente, che la curva è simmetrica rispetto all’asse x. Risolvendo la (3) rispetto ad y, si ottiene

Pertanto y è reale finchè x è positivo (o nullo) e minore di 2r; inoltre quando x, partendo dal valore zero, cresce indefinitamente in valore assoluto. Perciò la curva giace tutta nella striscia compresa tra l’asse y  e la retta AT, e si allontana indefinitamente dall’una e dall’altra banda, dall’asse x, avvicinandosi sempre più ad AT. I due rami della curva, tra loro simmetrici rispetto all’asse x, si riuniscono in O, che dicesi un punto doppio, anzi una cuspide, della cissoide, perché, come facilmente si vede, una retta uscente da O incontra la curva in tre punti, di cui uno solo è diverso da zero, eccezion fatta per l’asse x, le cui intersezioni con la curva sono tutte raccolte in O. Invero una retta per O ha un’equazione della forma

(4) y = tx ,

dove t è una costante arbitraria. Sostituendo in (3) questo valore di y, viene

la quale, qualunque sia t, ha tre radici x, di cui due nulle, mentre è nulla anche la rimanente quando sia t =0, nel qual caso la retta coincide con l’asse x.

Sopprimendo nella (5) il fattore  (il che equivale a considerare, fra le tre intersezioni, quella sola che non cade in O), dall’equazione risultante e dalla (4) si hanno le formule

le quali al variare del parametro t, danno le coordinate di tutti i punti della curva.

I fatti precedenti son posti in evidenza anche dall’equazione polare della cissoide, riferita al punto O come polo e alla semiretta che da O va verso A come asse polare. L’equazione, che si deduce subito dalla (3) con le note formole di trasformazione ( x = r cosw  , y = rsenw ) è

e per ogni valore di w  fornisce tre valori di r, di cui due nulli, mentre per w = 0 è nullo anche il terzo.

Se si tien conto della sola intersezione che non cade in O, o, ciò che è lo stesso, se in (7) si trascura il fattore , l’equazione polare della curva si scrive più semplicemente così:

A questa si può arrivare anche direttamente, osservando che è OP = MH = OH – OM, mentre dai triangoli OHA, OMA si ha

donde la (8).»

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