La Curva di Cassini

Dalla Curva di Cassini alla lemniscata di Bernoulli

(Da Lezioni di Geometria Analitica di Guido Castelnuovo – Società Anonima Editrice Dante Alighieri.1948.)

Curva di Cassini.[1]–La curva si definisce come luogo dei punti  le cui distanze da due punti fissi F, F’ (fuochi) danno un prodotto costante. Assunta la retta F, F’ come asse x di un sistema ortogonale avente l’origine nel punto medio O del segmento F, F’, posto F, F’ =2c, e detto a² il  prodotto costante l’equazione della curva è:

o, in forma razionale,

La curva è del quarto ordine, simmetrica rispetto agli assi x ed y. L’equazione risolta rispetto ad , ci dà

dove la quantità sotto al radicale è positiva, per x reale. Però dei due valori di  uno è sempre negativo e non dà punti reali; l’altro è positivo ( o,  al minimo, nullo) se

ossia se

dove il secondo membro indica il valore assoluto della espressione scritta.

Staccando i due casi abbiamo in fine le limitazioni

Di qua vediamo intanto che la curva è tutta compresa nella striscia definita dalle parallele ad y condotte per i punti A ed A’ di ascisse  

Inoltre, se a<c, fra le parallele ad y condotte per i punti B e B’  di ascisse    non si trovano punti reali della curva; e quindi la curva si spezza in due parti (ovali), di cui una è compresa fra le parallele uscenti da A e B, e l’altra è simmetrica a questa rispetto ad y.
Se a = c, la curva, di cui l’equazione può scriversi così

passa per l’origine, e si compone di un solo ramo annodato nell’origine; essa porta il nome di Lemniscata di Bernoulli (1694), ed ha una semplice equazione polare ( rispetto al polo O e all’asse polare x):

la quale mostra che i due tratti annodatisi in O hanno ivi per tangenti le bisettrici dell’angolo degli assi ( giacché si ha).

Finalmente se a>c, la curva si compone di un unico tratto ovale non passante per l’origine.
Risolvendo la (1) rispetto ad  il lettore potrà vedere che la ordinata di un punto della curva di Cassini è limitata dalla condizione  al segno di uguaglianza corrispondono quattro punti di incontro della curva col cerchio di centro O e raggio OF,  punti che sono reali finché  ed hanno effettivamente l’ordinata massima ( in valore assoluto).  Ma se   il cerchio non sega la curva in punti reali, ed il massimo valore dell’ordinata è raggiunto nei punti x = 0,  Conviene dunque  spezzare l’ipotesi a>c, che conduce ad una ovale, nelle due ipotesi   ( ovale schiacciata vicino all’asse y),  ( ovale propriamente detta).