La Distribuzione binomiale.

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La Distribuzione binomiale.

La Distribuzione binomiale. (da Calcolo delle probabilità di S. Lipschutz – Collana Schaum – Etas libri, Milano 1975)  Consideriamo prove ripetute


La Distribuzione binomiale.

(da Calcolo delle probabilità di S. Lipschutz – Collana Schaum – Etas libri, Milano 1975)

 Consideriamo prove ripetute e indipendenti di un esperimento con due esiti; definiamo uno dei due esiti successo, e definiamo l’altro insuccesso. Sia p la probabilità di successo, cosicché q = 1-p è la pro babilità di insuccesso. Se ci interessa il numero dei successi e non anche l’ordine in cui essi si presentano, allora vale il seguente teorema:

Teorema 1:  La probabilità di ottenere esattamente k successi in n prove ripetute viene indicata e calcolata mediante l’espressione

  
 
Qui   è il coefficiente binomiale . Si noti che la probabilità che non si verifichi alcun successo è , e quindi la probabilità che si verifichi almeno un successo è 1-.

Dim. Lo spazio campionario delle n prove ripetute consta di tutte le n-ple ordinate le cui componenti sono  o s ( successo) o i (insuccesso). L’evento A di ( k successi) consta di tutte le n-ple ordinate fra le cui componenti k sono s, le altre n-k sono i. Il numero delle n-ple ordinate dell’evento A è uguale al numero dei modi in cui si possono distribuire k lettere fra le n componenti di una n-pla; quindi A consta di punti campionari. Poiché la probabilità di ciascun punto di A è , si ha

Se consideriamo n e p costanti, allora la suddetta funzione P(k) = b( k; n, p) è una funzione di probabilità: 

k

0

1

2

N

P(k)

Essa e detta  distribuzione binomiale poiché per k = 0, 1, 2,…, n essa corrisponde ai termini successivi dello sviluppo del binomio

Questa distribuzione è detta anche distribuzione di Bernoulli, e le prove indipendenti con due esiti sono dette prove di Bernoulii.
Si ricavano le proprietà di questa distribuzione:

Teorema 2.

Distribuzione

Binomiale

Valor medio

Varianza

Scarto quadratico medio

 Dim.

Sia X  una variabile casuale con distribuzione binomiale b( k; n, p). Allora (i) E(X)=np e (ii) Var(X)= npq. Quindi  .
 (i)   Applicando si ottiene

(lasciamo cadere il termine k=0 in quanto il suo valore è nullo ed estraiamo np da ciascun termine).
Poniamo s = k-1 nella sommatoria suddetta . Mentre k assume i  valori compresi fra 1 e n, s assume i valori compresi fra 0 e n-1. Pertanto


poiché, per il teorema binomiale

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