La Distribuzione binomiale.
(da Calcolo delle probabilità di S. Lipschutz – Collana Schaum – Etas libri, Milano 1975)
Consideriamo prove ripetute e indipendenti di un esperimento con due esiti; definiamo uno dei due esiti successo, e definiamo l’altro insuccesso. Sia p la probabilità di successo, cosicché q = 1-p è la pro babilità di insuccesso. Se ci interessa il numero dei successi e non anche l’ordine in cui essi si presentano, allora vale il seguente teorema:
Teorema 1: La probabilità di ottenere esattamente k successi in n prove ripetute viene indicata e calcolata mediante l’espressione
Qui 
è il coefficiente binomiale . Si noti che la probabilità che non si verifichi alcun successo è 
, e quindi la probabilità che si verifichi almeno un successo è 1-
.
Dim. Lo spazio campionario delle n prove ripetute consta di tutte le n-ple ordinate le cui componenti sono o s ( successo) o i (insuccesso). L’evento A di ( k successi) consta di tutte le n-ple ordinate fra le cui componenti k sono s, le altre n-k sono i. Il numero delle n-ple ordinate dell’evento A è uguale al numero dei modi in cui si possono distribuire k lettere fra le n componenti di una n-pla; quindi A consta di 
punti campionari. Poiché la probabilità di ciascun punto di A è 
, si ha 
Se consideriamo n e p costanti, allora la suddetta funzione P(k) = b( k; n, p) è una funzione di probabilità:
|
k |
0 |
1 |
2 |
… |
N |
|
P(k) |
|
|
|
… |
|
Essa e detta distribuzione binomiale poiché per k = 0, 1, 2,…, n essa corrisponde ai termini successivi dello sviluppo del binomio
Questa distribuzione è detta anche distribuzione di Bernoulli, e le prove indipendenti con due esiti sono dette prove di Bernoulii.
Si ricavano le proprietà di questa distribuzione:
Teorema 2.
Distribuzione |
Binomiale |
|
Valor medio |
|
|
Varianza |
|
|
Scarto quadratico medio |
|
Dim.
Sia X una variabile casuale con distribuzione binomiale b( k; n, p). Allora (i) E(X)=np e (ii) Var(X)= npq. Quindi 
.
(i) Applicando 
, si ottiene
(lasciamo cadere il termine k=0 in quanto il suo valore è nullo ed estraiamo np da ciascun termine).
Poniamo s = k-1 nella sommatoria suddetta . Mentre k assume i valori compresi fra 1 e n, s assume i valori compresi fra 0 e n-1. Pertanto
poiché, per il teorema binomiale
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