La distribuzione dei numeri primi

Il problema della distribuzione dei numeri primi e del comportamento asintotico della funzione π(n) è illustrato dalle  letture di tre brani aventi per autori:

DK. Devlin
Davis&Hersh
Jean Dieudonnè

In sostanza però la risposta che viene richiesta dal quesito del concorso, è questa: il comportamento asintotico è .

Keith Devlin, Dove va la matematica, Boringhieri 2013, scrive:

«La distribuzione apparentemente caotica dei numeri primi nasconde un certo ordine, dato dal comportamento della funzione π(n) che esprime il numero di primi minori o uguali a n. Nel suo libro Essai sur la Théorie des Nombres del 1798, Legendre osservò che π(n) è approssimativamente uguale al numero

Non c’è niente di particolare nel numero 1,08366: Legendre ottenne questo risultato esaminando le tavole dei numeri primi fino a 400000 e scelse questo numero semplicemente per dare un’approssimazione il più precisa possibile.

Più o meno nello stesso periodo in cui Legendre lavorava al suo libro, il quattordicenne Gauss cominciava a studiare la funzione π(n). Egli osservò ( anche se non rese pubblico il fatto fino al 1863) che π(n) è approssimata dal numero e anche dal numero La funzione Li(n) è detta logaritmo integrale. La seguente tabella fornisce i diversi valori delle funzioni approssimanti per valori di n fino a 100 milioni; risulta che Li(n) è un’approssimazione di π(n) di gran lunga migliore delle altre due.

n	π(n)			Li(n)
1000	168	172	145	178
10000	1229	1231	1086	1246
100000	9592	9588	8686	9630
1000000	78498	78534	72382	78628
10000000	664579	665138	620420	664918
100000000	5761455	5769341	5428681	5762209

Nel 1896 Charles de la Vallée Poussin mostrò che questo è vero per tutti i valori di n a partire da un dato punto.

In effetti, e questa è una digressione interessante, dalla tabella sembra che Li(n), sia lievemente maggiore di π(n), e se si dovesse proseguire nella tabulazione è probabile che si continuerebbe a mostrare la stessa cosa.

Sarebbe da scettici non concludere che Li(n) approssima π(n) per eccesso.

Ma se si arrivasse a tale conclusione si sarebbe in errore, poiché nel 1914 il matematico inglese J. E. Littlewood ( un collega di G. H. Hardy) dimostrò che la differenza Li(n) – π(n) passa da un valore positivo a uno negativo infinite volte all’aumentare di n negli interi positivi. Così, ci saranno certamente valori di n per i quali Li(n) è minore di π(n), e S. Skewes mostrò nel 1955 che un tale n dovrà apparire prima del cosiddetto numero di Skewes:

(approssimativamente ),

un valore incomprensibilmente grande. Molto più piccolo, ma ancora ben al di fuori della nostra immaginazione, è il numero

Nel 1966 Lehman mostrò che esso sostituisce il numero di Skewes, nel senso che Li(n) – π(n) cambierà segno per qualche valore inferiore a quel numero. Più piccolo ancora è il numero e nel 1986 Herman J. J. te Riele dimostrò che un cambiamento di segno avverrà per qualche n al di sotto di questo limite. Ma questi sono ancora numeri estremamente grandi, e ciò ha portato a concludere che è possibile che non si arrivi mai a scoprire un numero n per il quale Li(n) sia effettivamente minore di π(n) ( quel che è certo è che una ricerca al calcolatore fatta fino a un miliardo non è approdata a nulla).

Torniamo ora all’argomento principale.

Nel 1896 i francesi J. Hadamard e C. Poussin, indipendentemente, riuscirono a dimostrare formalmente ciò che l’evidenza suggeriva: al crescere di n, il valore di si avvicina sempre più a π(n), approssimandolo con un qualunque grado di precisione richiesta, per n abbastanza grande. Ne consegue che anche Li(n) diventa arbitrariamente vicino a π(n) al crescere di n. Questo famoso risultato, che mostra una volta per tutte che i numeri primi appaiono secondo un modello matematico definito, è noto come teorema dei numeri primi.

E’ da notare tuttavia che tale modello implica la nozione di infinito e i concetti di analisi. Il lavoro di entrambi i matematici era scaturito da un importante saggio di otto pagine, pubblicato dal tedesco Bernhard Riemann nel 1859, dal titolo Sul numero di primi minori di una grandezza data.

In questo scritto, l’unico di Riemann sulla teoria dei numeri, egli suggerì alcune linee di ricerca che ancora oggi risultano estremamente produttive. Si potrebbe addirittura affermare che la pubblicazione di questo scritto ha segnato l’inizio di tutta la teoria analitica dei numeri, nella quale le tecniche dell’analisi sono applicate a problemi relativi ai numeri naturali.»

I primi e la funzione di Riemann

Davis & Hersh, L’esperienza matematica (Edizioni Di Comunità) riguardo alla distribuzione dei numeri primi scrivono:

«Un certo ordine comincia ad emergere dal caos quando i primi sono considerati non nella loro individualità ma nell’insieme; si considerano le statistiche sociali dei primi e non le eccentricità degli individui. Si prepara anzitutto una grande tabella di primi : operazione difficile e noiosa con carta e penna, ma facile con un calcolatore moderno. Poi si contano per vedere quanti sono fino a un dato punto. La funzione π(n) è definita come il numero di primi minori o uguali a n: misura cioè la distribuzione dei numeri primi. L’enunciato più formale

è il famoso teorema dei numeri primi. Il teorema risale a Gauss che lo scoprì a quindici anni ( intorno al 1792), ma la dimostrazione rigorosa è del 1896, frutto del lavoro indipendente di C. de la Vallée e Jacques Hadamard. Ed ecco l’ordine estratto dalla confusione, con una lezione di morale sul modo in cui le eccentricità individuali possono convivere con la legge e l’ordine.

L’espressione pur essendo un’approssimazione abbastanza semplice per π(n), non è molto stretta e i matematici hanno cercato di migliorarla. Naturalmente il prezzo da pagare è una maggiore complessità dell’espressione approssimante. Una delle approssimazioni più soddisfacenti per π(n) è la funzione

dove indica la famosa zeta di Riemann: . La tabella che segue mostra quanto sia buona l’approssimazione a π(n) che si ottiene con R(n):’

Dal crivello di Eratostene in poi

Jean Dieudonné, L’Arte dei numeri, Mondadori 1995, scrive:

«Una volta acquisito il fatto che la successione dei numeri primi non ha termine si possono fare tavole che danno i numeri primi minori di un numero dato. Si sono avute abbastanza presto tavole che arrivano fino a e i calcolatori possono fare molto di più. Il metodo più antico che si conosce per costruire queste tavole è quello che prende il nome di crivello di Eratostene. Per i numeri primi minori ≤ x, si scrive la sequenza di tutti gli interi 2, 3, 4, 5,…, x; si segnano i multipli di due a partire da 4, poi i multipli di 3 a partire da 6, i multipli di 5 a partire da 10, e così via: precisamente dopo la operazione, i k+1 numeri più piccoli non segnati sono primi, e se è il più grande tra loro, la operazione consiste nel segnare i multipli di p_k+1 a partire da 2p_k+1. Ci si può fermare al più piccolo numero primo p_r che è ≤√ x ; infatti, se un numero m è tale che √x<m≤x e non è un numero già segnato, non può essere un prodotto ab con a>1, b>1, perché almeno uno dei numeri a, b risulterebbe , quindi divisibile per uno dei numeri primi già trovati, e m avrebbe dovuto avere il contrassegno. Così tutti i numeri non segnati e sono primi.

Esistono metodi più potenti per costruire le tavole dei numeri primi, ma il crivello di Eratostene è forse il procedimento che ha suggerito a Eulero di considerare il numero della formula (2): in effetti preso un numero primo esistono numeri tali che 1 ≤ m ≤ x e che non sono multipli di p. Se non ci fossero nel ‘crivello’ numeri che vengono segnati più volte, esisterebbero approssimativamente

numeri primi minori di x, essendo il più grande numero primo il fattore di x in (3) è precisamente il denominatore del numero . Esso dipende da x naturalmente ed Eulero poté dimostrare che tende a 0 quando x cresce indefinitamente.

Tuttavia l’esame di una tavola di numeri primi rivela un’estrema irregolarità nella loro distribuzione; si conosce un elevato numero di primi p tali che il numero p+2 è anch’esso primo ( si dice che essi formano una coppia di primi ‘gemelli’) . Nel 1985 si conoscevano 3424506 numeri tali che p e p+2 sono primi e si sospetta che ce ne siano infiniti, benché attualmente non si sia in grado di dimostrarlo. D’altra parte esistono nella successione dei primi, ‘buchi’ grandi quanto si vuole in cui non esistono primi gemelli, per esempio la successione

n!+2,  n!+3, ……, n!+n .

Perfino Eulero era scoraggiato da queste tavole e pensava che la ripartizione dei primi fosse

un mistero nel quale lo spirito umano non avrebbe mai saputo penetrare’.

Ma alla fine del XVIII secolo, Legendre e Gauss, indipendentemente, ebbero l’idea che in media la ripartizione dei numeri primi obbedisse a leggi semplici. Gauss pensò che il numero p(x) dei numeri compresi tra 2 e x potesse essere approssimato dal numero

che prende il nome di logaritmo integrale. Questa idea venne precisata congetturando che quando x cresce indefinitamente, il rapporto tende a 1. Questo risultato viene chiamato il teorema dei numeri primi : se è la successione, in ordine crescente dei primi, si dimostra che questo teorema equivale ad affermare che il rapporto tende a 1. L’esame delle tavole mostra che queste congetture sono verosimili; per esempio, per si ha

e

.

Per tutto il XIX secolo molti matematici si impegnarono intensamente alla dimostrazione del teorema sui numeri primi. Ma esso venne dimostrato, solo nel 1896, quasi simultaneamente da J. Hadamard e C.J. de la Vallée-Poussin. Tutti i metodi di dimostrazione si fondano sullo studio di una funzione , introdotta da Riemann , che comporta tecniche di analisi avanzate.

Ma i matematici non si sono accontentati di questo successo; vorrebbero sapere come si comporta la differenza p(x)-li(x). Una congettura di Riemann sulle proprietà della funzione da lui introdotta implicherebbe, se fosse vera, che

tenda a zero per ogni esponente α > 0. Purtroppo, dopo 130 anni di sforzi, nessuno è riuscito ancora a dimostrare o a confutare l’ipotesi di Riemann, che resta uno dei problemi aperti più importanti della matematica, perché la sua soluzione comporterebbe grandi progressi in vari settori della teoria dei numeri.

Si è creduto a lungo che si avesse sempre π(x) < li(x); le tavole mostrano che ciò è vero per Ma Littlewood ha stabilito che esistono infiniti numeri naturali x tali che

e anche infiniti numeri primi x per cui

Non si conosce ancora il valore del più piccolo numero per il qualeπ(x)-li(x) cambia segno, ma esso risulta certamente molto grande. Questo risultato conferma evidentemente l’impressione di estrema irregolarità nella distribuzione locale dei primi.

Nel 1785 Legendre, per certe applicazioni alla teoria delle forme quadratiche, ebbe bisogno di una precisazione del teorema di Euclide, cioè che se a e b sono due numeri naturali primi tra loro, esistono infiniti primi nella progressione aritmetica an+b. In qualche caso particolare ciò si osserva facilmente generalizzando in modo opportuno il teorema di Euclide, per esempio per le progressioni aritmetiche 4n+3 e 6n+5. Ma la dimostrazione del teorema generale non si è mai ottenute con mezzi elementari; venne data da G.P.L. Dirichlet nel 1837, utilizzando funzioni che generalizzano la funzione di Riemann. Si indica con il numero dei primi al più uguali a x nella progressione aritmetica an+b; J. Hadamard e C.J de la Vallée-Poussin hanno esteso i loro metodi per ottenere una stima di . Essi hanno dimostrato che il rapporto tende a 1/φ(a), essendo φ(a) il numero dei numeri m primi con a e tali che 0 < m < a; Legendre aveva già ipotizzato questa formula»