Duplicazione del cubo

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Duplicazione del cubo

La risoluzione del problema della duplicazione del cubo mediante la cissoide di Diocle. Per quanto riguarda l’uso fatto da Diocle della cissoide, per

La risoluzione del problema della duplicazione del cubo mediante la cissoide di Diocle.

Per quanto riguarda l’uso fatto da Diocle della cissoide, per la risposta ci si è riferiti al testo ‘L’esame orale di Matematica nei concorsi a cattedre di scuole secondarie’ di Armando Chiellini e Roberto Giannarelli, Roma, Libreria Eredi Virgilio Veschi – 1962.

Il problema della duplicazione del cubo consiste nel determinare il lato di un cubo il cui volume è doppio di quello di un altro cubo. Sia a la misura del lato del cubo dato e x quella del lato del cubo di volume doppio. Si ha , cioè Si tratta di un problema algebrico di terzo grado. L’equazione ottenuta è irriducibile, e il problema non è risolubile elementarmente.

Utilizzando la cissoide di Diocle si può risolvere questo problema.

Consideriamo la cissoide relativa alla circonferenza di diametro AB=a e quindi di equazione

Si riporti sulla tangente in A alla circonferenza un segmento AS=2a. Congiungiamo S con B e detta U l’intersezione di SB con la cissoide, si unisca U con A; sia T l’intersezione di AU con la tangente in B alla circonferenza ( che è l’asintoto della cissoide).

Si ha che BT è il lato del cubo di volume doppio di quello considerato. Infatti consideriamo i triangoli SAB e UHB; essi sono simili per cui possiamo scrivere .

U è un punto della cissoide di coordinate (x,y) con La proporzione precedente diventa:

dall’equazione della cissoide segue che .

Sostituendo questa nell’espressione trovata per la y si ha

Ora consideriamo i triangoli simili ATB, AUH, da questi si ha che cioè

da cui Elevando al cubo si ha Sostituendo in quest’ultima l’espressione (*) si ha »

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