La formula di Cavalieri-Simpson riguarda l’integrazione numerica. Si ottiene pensando di approssimare il grafico della funzione con archi di parabola.
Bonaventura Cavalieri (1598-1647)
La formula approssima l’area sottesa da un arco di curva C mediante la somma delle aree dei rettangoloidi ottenuti spezzettando C in un numero pari di archi di parabola. La formula è concettualmente analoga alla formula dei trapezi che, invece che con archi di parabola, approssima il grafico della funzione da integrare spezzettandolo in tanti segmenti di retta.
Della formula è stato già detto in Il calcolo di π con il metodo di Simpson. Si trattava in quel caso di dare una valutazione dell’area sottesa da un arco di circonferenza. Esattamente l’area data dall’integrale
Ecco come ottenere la formula:
Supponiamo di voler calcolare l’area compresa tra il grafico della funzione y = f(x) e l’asse x in un intervallo determinato.
Supponiamo anche che tale intervallo sia quello di estremi 0 e 2.
Prendendo x = 1, punto medio di [0,2] possiamo pensare di approssimare il grafico della funzione con l’arco della parabola che per x = 0, 1, 2 assume gli stessi valori della funzione, ossia f(0), f(1), f(2). Se ricorriamo alle parabole ausiliarie ( polinomi di interpolazione di Lagrange)
Queste per x = 0, 1, 2 danno luogo alla seguente tabella:
| x | 0 | 1 | 2 |
| P0(x) | 1 | 0 | 0 |
| P1(x) | 0 | 1 | 0 |
| P2(x) | 0 | 0 | 1 |
E la parabola per i punti (0, f (0)), (1,f (1)), (2, f (2)) ha equazione:
Si ha dunque:
che si può prendere come valore approssimato di
Se l’approssimazione non soddisfa, l’intervallo [0, 2] si può spezzare in due sotto-intervalli [0, 1] e [1, 2] e in ognuno di essi considerare gli archi delle parabole passanti per (0, f(0)), (1/2, f (1/2)), (1, f(1)), (3/2, f (3/2)), (2, f (2)) . Iterando il procedimento, la curva, grafico di f(x), viene sostituita dalla somma di tanti ( un numero pari) archi di parabola. Suddividendo in particolare l’intervallo [0, 2] in 2m sotto-intervalli uguali di lunghezza 2h
[x0, x2], [x2, x4], …, [x2m-2, x2m] con x0 = 0 e x2m = 2si perviene alla formula:
ove fi è il valore di f in xi che dicesi formula generalizzata di Simpson e che Giuseppe Peano chiamò di Cavalieri-Simpson pur riconoscendo nel suo latino sine flexione che «Plure Auctore voca formula praecedente formula de Simpson» [in Formulario Mathematico p. 368, a cura di U. Cassina, 1960]
Il ragionamento fatto per l’intervallo [0,2] è valido, naturalmente, per un qualsiasi intervallo a, b appartenente al dominio di definizione della funzione f.
NOTE
- Thomas Simpson (1710 -1761) fu autore di due pregevoli manuali didattici: Treatise of Algebra e Elements of Plane Geometry: il primo vantò ( la notizia si trova in C. Boyer, Storia della Matematica, Isedi, 1976 ) almeno otto edizioni uscite a Londra tra il 1745 e il 1809, una durata oggi impensabile che significa che più generazioni imparavano dagli stessi testi e che ciò conferiva all’educazione caratteri di grande omogeneità.
- L’articolo è tratto quasi interamente da: Emilio Ambrisi, Simpson e π, in Periodico di Matematiche n.3/4, 1984.
COMMENTS