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La formula che Peano chiamò di Cavalieri-Simpson

La formula di Cavalieri-Simpson riguarda l’integrazione numerica. Si ottiene pensando di approssimare il grafico della funzione con archi di parabola.

Bonaventura Cavalieri (1598-1647)

La formula approssima l’area sottesa da un arco di curva C mediante la somma delle aree dei rettangoloidi ottenuti spezzettando C in un numero pari di archi di parabola. La formula è concettualmente analoga alla formula dei trapezi che, invece che con archi di parabola, approssima il grafico della funzione da integrare spezzettandolo in tanti segmenti di retta.

Della formula è stato già detto in Il calcolo di π con il metodo di Simpson. Si trattava in quel caso di dare una valutazione dell’area sottesa da un arco di circonferenza. Esattamente l’area data dall’integrale \int_{0}^{2}\sqrt{8-x^{2}

Ecco come ottenere la formula:

Supponiamo di voler calcolare l’area compresa tra il grafico della funzione y = f(x) e l’asse x in un intervallo determinato.

Supponiamo anche che tale intervallo sia quello di estremi 0 e 2.

Prendendo x = 1, punto medio di [0,2] possiamo pensare di approssimare  il grafico della funzione con l’arco della parabola che per x = 0, 1, 2 assume gli stessi valori della funzione, ossia f(0), f(1), f(2). Se ricorriamo alle parabole ausiliarie ( polinomi di interpolazione di Lagrange)

P_{0}(x)=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x+1

P_{1}(x)=-x^{2}+2x

P_{2}(x)=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x

Queste per x = 0, 1, 2 danno luogo alla seguente tabella:

x 0 1 2
P0(x) 1 0 0
P1(x) 0 1 0
P2(x) 0 0 1

E la parabola per i punti  (0, f (0)), (1,f (1)), (2, f (2)) ha equazione:

P(x)=f(0)P_{0}(x)+f(1)P_{1}(x)+f(2)P_{2}(x)

Si ha dunque:

\int_{0}^{2}P(x)dx=\frac{1}{3}(f(0)+4f(1)+f(2))

che si può prendere come valore approssimato di \int_{0}^{2}f(x)dx

Se l’approssimazione non soddisfa, l’intervallo [0, 2] si può spezzare in due sotto-intervalli [0, 1] e [1, 2] e in ognuno di essi  considerare gli archi delle parabole passanti per (0, f(0)), (1/2, f (1/2)),  (1, f(1)), (3/2, f (3/2)), (2, f (2)) . Iterando il procedimento, la curva, grafico di f(x), viene sostituita dalla somma di tanti ( un numero pari)  archi di parabola. Suddividendo in particolare l’intervallo [0, 2] in 2m sotto-intervalli uguali di lunghezza 2h

[x0, x2], [x2, x4], …, [x2m-2, x2m] con x0 = 0 e x2m = 2

si perviene alla formula:

\int_{0}^{2}f(x)dx\sim \frac{h}{3}\left [ f_{0}+4(f_{1}+f_{2}+ ... +f_{2m-1})+2(f_{2}+...+f_{2m-2})+f_{2m} \right ]

ove fi è il valore di f in xi che dicesi formula generalizzata di Simpson e che Giuseppe Peano chiamò di Cavalieri-Simpson pur riconoscendo nel suo latino sine flexione che «Plure Auctore voca formula praecedente formula de Simpson» [in Formulario Mathematico p. 368, a cura di U. Cassina, 1960]

Il ragionamento fatto per l’intervallo [0,2] è valido, naturalmente, per un qualsiasi intervallo a, b appartenente al dominio di definizione della funzione f.

NOTE

  • Thomas Simpson (1710 -1761) fu autore di due pregevoli manuali didattici: Treatise of Algebra e Elements of Plane Geometry: il primo vantò ( la notizia si trova in C. Boyer, Storia della Matematica, Isedi, 1976 ) almeno otto edizioni uscite a Londra tra il 1745 e il 1809, una durata oggi impensabile che significa che più generazioni imparavano dagli stessi testi e che ciò conferiva all’educazione caratteri di grande omogeneità.
  • L’articolo è tratto quasi interamente da: Emilio Ambrisi, Simpson e π, in Periodico  di Matematiche n.3/4, 1984.

 

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