La formula di Erone

La formula di Erone per calcolare l’area di un triangolo note le lunghezze dei suoi lati.

La formula di Erone potrebbe sembrare superflua, visto che già possediamo una formula standard, ben nota e semplice da usare:

Tuttavia, quest’ultima formula, è di ben scarsa utilità quando non è nota l’altezza del triangolo.

Per cominciare bisogna osservare che una volta noti i tre lati di un triangolo l’area ne è determinata in maniera univoca. Ciò segue immediatamente dal terzo criterio di congruenza dei triangoli. Perciò, se conosciamo i tre lati di un triangolo, sappiamo anche che esiste uno e un solo valore possibile per la sua area.

Ma come possiamo trovare questo valore? Semplicemente, appunto, applicando la formula di Erone che, esposta in linguaggio moderno suona così:

Se K è l’area di un triangolo avente lati di lunghezza a, b e c, allora si ha

dove s è il semiperimetro del triangolo, cioè:

La formula di Erone è uno dei dodici grandi teoremi di William Dunham.

La ragione di tale inserimento, Dunham la spiega così:

“La formula di Erone è alquanto originale e a chi la incontra per la prima volta può sembrare frutto di un errore di stampa. La presenza della radice quadrata e del semiperimetro è singolare e nella formula non c’è alcun appiglio intuitivo per giustificarla. Tuttavia non è certo per la sua stranezza che abbiamo scelto di presentare questo teorema, ma piuttosto perchè la dimostrazione data da Erone è al tempo stesso estremamente sorprendente e ingegnosa.

Da un certo punto di vista il ragionamento è elementare, perchè utilizza soltanto elementi di geometria piana molto semplici. Erone, facendo sfoggio di un virtuosismo geometrico eccellente, riesce a combinare questi semplici elementi in una dimostrazione, ricca ed elegante, che può vantare uno dei migliori finali a sorpresa di tutta la matematica. Come in un romanzo di Agatha Christie, il lettore arriva alle ultime righe della dimostrazione senza avere ancora idea di come verrà risolta la faccenda; ed ecco che nel finale Erone tira le fila con ammirevole maestria.”