La formula di Erone

La formula di Erone per calcolare l’area di un triangolo.

La formula di Erone potrebbe sembrare superflua, visto che già possediamo una formula standard, ben nota e semplice da usare:

Tuttavia, quest’ultima formula, è di ben scarsa utilità quando non è nota l’altezza del triangolo.

Per cominciare bisogna osservare che una volta noti i tre lati di un triangolo l’area ne è determinata in maniera univoca. Ciò segue immediatamente dal terzo criterio di congruenza dei triangoli. Perciò, se conosciamo i tre lati di un triangolo, sappiamo anche che esiste uno e un solo valore possibile per la sua area.

Ma come possiamo trovare questo valore? Semplicemente, appunto, applicando la formula di Erone che, esposta in linguaggio moderno suona così:

Se K è l’area di un triangolo avente lati di lunghezza a, b e c, allora si ha

dove s è il semiperimetro del triangolo, cioè:

La formula di Erone è uno dei dodici grandi teoremi di William Dunham.

La ragione di tale inserimento, Dunham la spiega così:

“La formula di Erone è alquanto originale e a chi la incontra per la prima volta può sembrare frutto di un errore di stampa. La presenza della radice quadrata e del semiperimetro è singolare e nella formula non c’è alcun appiglio intuitivo per giustificarla. Tuttavia non è certo per la sua stranezza che abbiamo scelto di presentare questo teorema, ma piuttosto perchè la dimostrazione data da Erone è al tempo stesso estremamente sorprendente e ingegnosa.

Da un certo punto di vista il ragionamento è elementare, perchè utilizza soltanto elementi di geometria piana molto semplici. Erone per, facendo sfoggio di un virtuosismo geometrico eccellente, riesce a combinare questi semplici elementi in una dimostrazione ricca ed elegante, che può vantare uno dei migliori finali a sorpresa di tutta la matematica. Come in un romanzo di Agatha Christie, il lettore arriva alle ultime righe della dimostrazione senza avere ancora idea di come verrà risolta la faccenda; ed ecco che nel finale erone tira le fila con ammirevole maestria.”