La formula di Taylor

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La formula di Taylor

La formula di Taylor (da Analisi Matematica di George B. Thomas,  Ross L. Finney,  Zanichelli, 1986)  «… una formula che prende il nome dal matema


La formula di Taylor

(da Analisi Matematica di George B. Thomas,  Ross L. Finney,  Zanichelli, 1986)

 «… una formula che prende il nome dal matematico inglese Brook Taylor (1685-1731). Purtroppo, sebbene si conoscano parecchie dimostrazioni di questa formula, nessuna di essa sembra avere un punto di partenza evidente.
Il cammino che verrà seguito parte dalla semplice formula 

 

 che si può riscrivere nella forma

   

 Si applica poi la formula di integrazione per parti

   

 con

 

dove nel ricavare si introduce la costante di integrazione –b per comodità futura. Si ottiene:

 

 

Una seconda integrazione per parti con 

 

 

 

Continuando in questo modo si trova che

 

Infine sostituendo b con x, si ottiene la formula di Taylor.

Teorema di Taylor. Sia f una funzione continua insieme alle sue prime n+1 derivate in un intervallo contenente a e x. Allora, il valore della funzione in x è dato da

 

L’equazione (3) è detta  formula di Taylor; il termine  è detto resto o termine complementare della formula di Taylor.

L’applicazione dell’integrazione per parti n volte in successione richiede che l’integrale indicato nella (3) esista in ciascuno stadio. Ciò si verifica purché la derivata (n+1)-esima della funzione esista e sia continua in un certo intervallo chiuso comprendente il dominio di integrazione tra a e x.

Se si tralascia il resto  nell’equazione (3), il secondo membro diventa il polinomio di Taylor che approssima f(x). L’errore commesso in questa approssimazione è ciò che è misurato da   . Quindi, si può affrontare il problema dell’eventuale convergenza della serie a f(x) studiando questo resto. La serie convergerà a f(x) purché

 

In altre parole, quando questo limite è 0,

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