La formula di Taylor
(da Analisi Matematica di George B. Thomas, Ross L. Finney, Zanichelli, 1986)
«… una formula che prende il nome dal matematico inglese Brook Taylor (1685-1731). Purtroppo, sebbene si conoscano parecchie dimostrazioni di questa formula, nessuna di essa sembra avere un punto di partenza evidente.
Il cammino che verrà seguito parte dalla semplice formula
che si può riscrivere nella forma
Si applica poi la formula di integrazione per parti
con
dove nel ricavare 
si introduce la costante di integrazione –b per comodità futura. Si ottiene:
Una seconda integrazione per parti con
dà
Continuando in questo modo si trova che
Infine sostituendo b con x, si ottiene la formula di Taylor.
Teorema di Taylor. Sia f una funzione continua insieme alle sue prime n+1 derivate in un intervallo contenente a e x. Allora, il valore della funzione in x è dato da
L’equazione (3) è detta formula di Taylor; il termine 
è detto resto o termine complementare della formula di Taylor.
L’applicazione dell’integrazione per parti n volte in successione richiede che l’integrale indicato nella (3) esista in ciascuno stadio. Ciò si verifica purché la derivata (n+1)-esima della funzione esista e sia continua in un certo intervallo chiuso comprendente il dominio di integrazione tra a e x.
Se si tralascia il resto 
nell’equazione (3), il secondo membro diventa il polinomio di Taylor che approssima f(x). L’errore commesso in questa approssimazione è ciò che è misurato da 
. Quindi, si può affrontare il problema dell’eventuale convergenza della serie a f(x) studiando questo resto. La serie convergerà a f(x) purché
In altre parole, quando questo limite è 0,
COMMENTS