La formula più bella: l’itinerario classico

L’itinerario classico: e^iπ +1=0  dagli sviluppi in serie

Le scienze matematiche, Zanichelli 1973

Uno degli itinerari classici per giungere alla  ha il suo punto di partenza negli sviluppi in serie delle funzioni trigonometriche e esponenziale. Quella che segue è una delle pagine più belle e meglio scritte sull’argomento in cui  l’intento didattico, e più in generale divulgativo, conduce ad una chiarezza inaspettata delle assunzioni di partenza –  “accettabili” in modo naturale – e dell’inferenza logica utilizzata. Essa è dovuta a Lipman Bers ed è tratta dal libro ( che si consiglia ad ogni docente o aspirante tale) Le scienze matematiche Edito da Zanichelli, Bologna 1973.

         « Una delle importanti scoperte del secolo diciottesimo, ed una delle prime applicazioni del calcolo, è stata la scoperta che le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale possono essere rappresentate mediante “polinomi di grado infinito”, o, come diciamo oggigiorno, mediante “serie di potenze”. Le formule sono semplici. Ecco la prima,

essa si interpreta come segue: per calcolare , si fissa un numero intero positivo N e si calcola il valore del polinomio

ossia la somma dei primi N+1 termini della serie sopra indicata; se N è grande, il valore così ottenuto è prossimo a quello di ; anzi, in questo modo il valore di e^x può essere approssimato tanto accuratamente quanto si vuole, pur di prendere N grande abbastanza. Alla stessa maniera si interpretano le altre due formule cui si è accennato dianzi, e che sono

Queste formule hanno una conseguenza inaspettata: per mezzo loro si possono calcolare e^x, senx e cosx anche nel caso che x sia un numero complesso! Per esempio, che cosa significa eⁱ? significa forse « e moltiplicato  volte per sé stesso»? ciò è assolutamente insensato! Però possiamo calcolare eⁱ facendo uso della prima serie, ed otteniamo un numero complesso ben preciso, eguale circa a .

Una volta che le funzioni trigonometriche ed esponenziale sono state definite anche per valori complessi nel modo ora accennato, si scopre tra esse una notevole parentela, che rispecchia la stretta somiglianza tra le tre serie dianzi introdotte. Si ha difatti

 di queste tre serie, l’ultima è uguale alla somma delle prime due ( si ricordi che si ha  e ), e quindi

;

in particolare, per y = π si ha  e , ossia

,

bellissima formula che lega tra loro i numeri più importanti di tutta la matematica, cioè 0,1,i,π ed e. Come si vede, l’introduzione dei numeri complessi svela armonie e relazioni insospettate tra rami della matematica apparentemente molto lontani.

Una funzione che si può rappresentare come «polinomio di grado infinito», o «serie di potenze», si dice «analitica»; tutte le funzioni di questo tipo si possono definire anche per valori complessi. La maggior parte delle funzioni che interessano la matematica e le sue applicazioni, per fortuna, sono analitiche: perciò l’analisi complessa, ossia lo studio delle funzioni analitiche, occupa una posizione centrale tra le discipline matematiche.»