La funzione gaussiana.
(Da Calcolo di Paolo Marcellini e Carlo Sbordone- Liguori Editore.)
La funzione gaussiana, così chiamata dal nome del matematico tedesco C.F. Gauss, vissuto tra il 1777 e il 1855, è la funzione
(……)
La funzione ha un’importanza fondamentale in calcolo delle probabilità. A tale proposito si noti che il grafico della funzione gaussiana è simile al profilo “a campana” della funzione di probabilità [….].
In calcolo delle probabilità una delle informazioni principali sulla funzione gaussiana è il valore del suo integrale improprio in ( -∞ , +∞ ). Si può dimostrare che risulta
Notiamo che, generalizzando la (1), è gaussiana anche la funzione seguente, per ogni scelta dei parametri A, B, 
, con A, B positivi:
La funzione gaussiana in (3) è simmetrica rispetto al punto 
. Il grafico di tale funzione si ottiene dal grafico della funzione in (1), tenendo conto che i parametri A, B agiscono con un cambio di scala rispettivamente sugli assi y, x.
Nelle applicazioni al calcolo delle probabilità è interessante scegliere i parametri A, B in modo che l’integrale improprio della funzione f(x) su ( -∞,+∞) sia uguale ad 1 (…). Con la sostituzione 
in base al risultato (2) possiamo calcolare l’integrale improprio:
Dato che 
se e solo se 
con questa scelta del parametro A, per ogni B > 0 otteniamo:
In luogo dei simboli B, 
, spesso si utilizzano i simboli s, m con s > 0, ponendo
si considera quindi la seguente funzione gaussiana , che ha integrale improprio esteso all’intervallo ( -∞,+∞), uguale ad 1;
la funzione f(x) in (7) prende anche il nome di distribuzione gaussiana ( o distribuzione normale) di probabilità. Il numero m è la media della distribuzione; il parametro s prende il nome di deviazione standard. I valori x = m±s sono le ascisse dei punti di flesso della funzione f(x).
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