La funzione gaussiana

HomeDidattica

La funzione gaussiana

La funzione gaussiana. (Da Calcolo di Paolo Marcellini e Carlo Sbordone- Liguori Editore.)      La funzione gaussiana, così chiamata dal nome del


La funzione gaussiana.

(Da Calcolo di Paolo Marcellini e Carlo Sbordone- Liguori Editore.)

     La funzione gaussiana, così chiamata dal nome del matematico tedesco C.F. Gauss, vissuto tra il 1777 e il 1855, è la funzione  

(……)
La funzione ha un’importanza fondamentale in calcolo delle probabilità. A tale proposito si noti che il grafico della funzione gaussiana è simile al profilo  “a campana” della funzione di probabilità [….].
In calcolo delle probabilità una delle informazioni principali sulla funzione gaussiana è il valore del suo integrale improprio in ( -∞
, +∞ ).  Si può dimostrare ( vedi pag. 532, 533, 534) che risulta

 Notiamo che, generalizzando la (1), è gaussiana anche la funzione seguente, per ogni scelta dei parametri A, B, , con A, B positivi:

 

La funzione gaussiana in (3) è simmetrica rispetto al punto . Il grafico  di tale funzione si ottiene dal grafico della funzione in (1), tenendo conto che i parametri A, B agiscono con un cambio di scala rispettivamente sugli assi y, x.

Nelle applicazioni al calcolo delle probabilità è interessante scegliere i parametri A, B in modo che l’integrale improprio della funzione f(x) su ( -∞,+∞) sia uguale ad 1 (…). Con la sostituzione   in base al risultato (2) possiamo calcolare l’integrale improprio:

 

 Dato che  se e solo se con questa scelta del parametro A, per ogni B > 0 otteniamo: 

 In luogo dei simboli  B, , spesso si utilizzano i simboli s,m con s>0, ponendo

 

si considera quindi la seguente funzione gaussiana , che ha integrale improprio esteso all’intervallo ( -∞,+∞), uguale ad 1;

 la funzione f(x) in (7) prende anche il nome di distribuzione gaussiana ( o distribuzione normale) di probabilità. Il numero m è la media della distribuzione; il parametro s prende il nome di deviazione standard. I valori x = m±s sono le ascisse dei punti di flesso della funzione f(x).

COMMENTS

WORDPRESS: 0
DISQUS: 0