Le proprietà della funzione integrale nelle tracce delle prove di maturità scientifica. Esempi e soluzioni.
La funzione integrale è stata sempre presente nei percorsi di matematica e fisica dei licei scientifici, spesso anche affrontata con metodi euristici ancor prima che lo studente abbia acquisito le necessarie competenze di Analisi.
Molto spesso la funzione integrale viene presentata, in termini decisamente riduttivi, come funzione ausiliaria per dimostrare il Teorema Fondamentale del Calcolo integrale, lasciando poi grande spazio alle applicazioni dell’integrale definito.
Anche le prove d’esame hanno mantenuto per molti anni uno schema collaudato: studio di funzione – calcolo di una regione piana sottesa da un curva o limitata da archi di curva. A partire dal 2001, con l’entrata in vigore dell’attuale struttura per la seconda prova del liceo scientifico, sono stati assegnati quesiti di applicazione del TFC basati sul concetto di funzione integrale e sulle sue proprietà.
L’articolazione delle tracce in problemi e quesiti favoriva, infatti, una scelta più ampia dei contenuti, rispondenti alle esigenze di nuove proposte didattiche, sempre più evidenti man mano che ci si avvicinava al 2015, anno in cui sarebbero andate a regime le classi della Riforma Gelmini del 2010.
In verità, le Indicazioni nazionali sono piuttosto generiche riguardo gli obiettivi specifici di apprendimento relativi all’Analisi.
Ribadiscono però l’importanza della dimensione storica degli argomenti trattati, della concettualizzazione dei contenuti, del ruolo della matematica nella modellizzazione dei fenomeni fisici.
«Lo studente proseguirà lo studio delle funzioni fondamentali dell’analisi anche attraverso esempi tratti dalla fisica o da altre discipline. Acquisirà il concetto di limite di una successione e di una funzione e apprenderà a calcolare i limiti in casi semplici.
Lo studente acquisirà i principali concetti del calcolo infinitesimale – in particolare la continuità, la derivabilità e l’integrabilità – anche in relazione con le problematiche in cui sono nati (velocità istantanea in meccanica, tangente di una curva, calcolo di aree e volumi). Non sarà richiesto un particolare addestramento alle tecniche del calcolo, che si limiterà alla capacità di derivare le funzioni già note, semplici prodotti, quozienti e composizioni di funzioni, le funzioni razionali e alla capacità di integrare funzioni polinomiali intere e altre funzioni elementari, nonché a determinare aree e volumi in casi semplici.
Altro importante tema di studio sarà il concetto di equazione differenziale, cosa si intenda con le sue soluzioni e le loro principali proprietà, nonché alcuni esempi importanti e significativi di equazioni differenziali, con particolare riguardo per l’equazione della dinamica di Newton. Si tratterà soprattutto di comprendere il ruolo del calcolo infinitesimale in quanto strumento concettuale fondamentale nella descrizione e nella modellizzazione di fenomeni fisici o di altra natura. Inoltre, lo studente acquisirà familiarità con l’idea generale di ottimizzazione e con le sue applicazioni in numerosi ambiti».
La teoria dell’integrazione e, in particolare, il concetto di funzione integrale sono stati poi valorizzati in modo esplicito, tra gli obiettivi della prova di matematica agli Esami di stato, nei Quadri di riferimento del 2018:
- Analizzare le caratteristiche della funzione integrale di una funzione continua e applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale.
- A partire dal grafico di una funzione, tracciare i grafici della sua derivata e di una sua funzione integrale.
- Interpretare geometricamente l’integrale definito e applicarlo al calcolo di aree.
- Determinare primitive di funzioni utilizzando integrali immediati, integrazione per sostituzione o per parti.
- Determinare la probabilità di un evento utilizzando i teoremi fondamentali della probabilità, il calcolo combinatorio, il calcolo integrale.
Da notare :
- l’attenzione riservata alla concettualizzazione oltre che alle applicazioni
- la valorizzazione dei metodi grafici
- l’invito esplicito a utilizzare funzioni continue
La restrizione della teoria dell’integrazione alle sole funzioni continue rischia di mettere in ombra l’interessante apparato concettuale sottostante ma è pur sempre un’utile e, a volte, necessaria semplificazione didattica.
L’estensione del concetto di funzione integrale a una funzione che presenti alcuni punti di discontinuità o a un intervallo illimitato, va senz’altro affrontato ma, eventualmente, proposto con cautela nelle prove d’esame, come potremo osservare analizzando alcuni esempi.
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