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La geometria che nacque da un sogno, il 10 novembre 1619

Nacque da un sogno, la musica da programma della matematica! Era il 10 novembre 1619, la vigilia di San Martino, in un villaggio sulle rive del Danubio, tra i soldati di un esercito in guerra.

La musica da programma è la geometria analitica. Il sogno è quello di Cartesio, giovane ventitreenne arruolato nell’esercito dell’elettore di Baviera in guerra con la Boemia. In un villaggio presso Ulm dove l’esercito svernava, fervevano i preparativi per la festa di San Martino. Alla sera, Cartesio andò a letto avendo bevuto, forse, qualche bicchiere di troppo. E fu una notte agitata da ben tre sogni, narrati poi dal suo biografo Adrien Baillet e che Biagio Scognamiglio ha recentemente illustrato e commentato in La matematica può essere sognata. Fatto è che la mattina seguente, 10 novembre, Cartesio ebbe la netta sensazione di sentirsi illuminato, di aver avuto in sogno la rivelazione del metodo che da allora in poi la scienza avrebbe dovuto seguire.

Cartesio, secondo il racconto che ne fa Eric T. Bell, «si svegliò pieno di “entusiasmo” (probabilmente nel senso mistico del termine) e, come in un secondo sogno, gli si rivelò la chiave magica del tesoro della natura, dandogli il possesso, alfine, delle vere basi di tutte le scienze. Qual era questa chiave misteriosa? Sembra che Cartesio non l’abbia detto a nessuno esplicitamente, ma in generale si crede che si trattasse niente meno che dell’applicazione dell’algebra alla geometria, in una parola, della geometria analitica e, più generalmente, della spiegazione dei fenomeni naturali per mezzo della matematica, ciò che oggi la fisica matematica svolge ampiamente.

Il 10 novembre 1619 è dunque la data ufficiale della nascita della geometria analitica e, per conseguenza, della matematica moderna. Dovevano passare ancora diciotto anni prima che il metodo vedesse la luce. Nel frattempo Cartesio proseguì la carriera militare e, per il bene della matematica, si può ringraziare Marte che nessuna pallottola smarrita abbia traversato il cervello del matematico alla battaglia di Praga. Tre secoli dopo, tutta una schiera di giovani matematici hanno avuto meno fortuna nei campi stessi in cui la loro scienza aveva aperto le ali col sogno di Cartesio».

Su quella notte di sogni e su quel risveglio pieno d’entusiasmo per le visioni dei mirabilis scientiae fundamenta molto è stato scritto.

Ne hanno parlato con passione  matematici e filosofi e letterati come Paul Valéry.  Philip J. Davis e Reuben Hersh, già autori del notissimo The Mathematical Experience, titolarono un altro dei loro libri di successo Descartes’ Dream, Il sogno di Cartesio (1986, l’edizione italiana è del 1988). Sottotitolo: il mondo secondo la matematica.

La Geométrie, l’opera che consegna alla storia i segreti di quella notte, fu pubblicata l’8 giugno 1637: una delle tre appendici al Discorso sul metodo per guidare rettamente la ragione alla ricerca della verità nelle scienze. È l’unica opera matematica di Cartesio e, frutto di quel sogno rivelatore, segna, per universale riconoscimento, l’inizio della matematica moderna.

La Geometria di Cartesio è la nuova matematica.

È la geometria cartesiana, detta anche analitica, che Kasner e Newman nel capitolo III del loro best seller Matematica e immaginazione definiscono la musica da programma della matematica.

Ecco, riprodotto più sotto, l’indice di quel capitolo terzo. Coerentemente al titolo e alle finalità del libro, è come se si chiedesse al lettore di colmare lo spazio occupato dai puntini sospensivi … con uno sforzo di immaginazione. Immaginare cosa possano significare per la matematica espressioni come cinesi e candelieri o borse di seta o rigor mortis o musica da programma: matematica e immaginazione!  Che esercizio formativo! Riscrivere, da autore, il capitolo.

Cinesi e candelieri … Crepuscolo e buon senso … π, i, e … La quadratura del cerchio e i suoi cugini … La impossibilità matematica … Borse di seta, orecchie di scrofa, regolo e compasso … Rigor mortis … Equazioni algebriche e numeri trascendenti … Galois e le epidemie greche … Duplicazione del cubo e trisezione dell’angolo … Biografia di π … Infanzia: Archimede, la Bibbia, gli Egiziani … Adolescenza: Vieta, Van Ceulen … Maturità: Wallis, Newton, Leibniz … Vecchiaia: Dase, Richter, Shanks … Vittima della schizofrenia … Dono alle compagnie di assicurazioni … (e) … I logaritmi e i trucchi del commercio … Mr. Briggs è sorpreso … Mr. Napier spiega … Biografia di e; oppure il favorito del banchiere … Ghiandola pituitaria della matematica: la funzione esponenziale … (i) … Humpty Dumpty, dottore di semantica … Numeri immaginari … La √-1, o «dove sono?» … Biografia di i, l’anfibio di se stesso … Omar Khayyám, Cardano, Bombelli e Gauss … i e i Soviet di Russia … Musica da programma della matematica … Prima colazione a letto; ovvero come si diviene un grande matematico … Geometria analitica … Rappresentazione geometrica di i … Piano complesso … Una famosa formula, fede, umiltà.

Va detto che la musica da programma (o a programma) è un tipo di composizione musicale che consiste nel descrivere o nel narrare una storia con mezzi puramente musicali. Uno dei primi esempi di questa tipologia musicale sono Le quattro stagioni di Antonio Vivaldi. Scrivono allora Kasner e Newman:

«Spettò a Cartesio il compito di scrivere la musica da programma della matematica, di escogitare una geometria che può dirsi narrativa. Quando diciamo che ogni equazione algebrica ha la sua figura, noi descriviamo la relazione esistente tra la geometria analitica e l’algebra. E proprio come la musica da programma è importante e ha significato per se stessa e per le vicende che illustra, così la geometria analitica ha la sua propria dignità e importanza: è una disciplina matematica autonoma». Ed è unificante! È la melodia di forme e simboli, armonica corrispondenza di punti e coppie o n-uple ordinate di numeri reali, di equazioni e curve del piano e dello spazio, strumento per dare sostanza e visibilità di forma geometrica a ciò che potrebbe essere solo lettera o simbolo.

Chi voglia cantar le lodi della geometria cartesiana non ha difficoltà a riempire interi volumi dacché  la letteratura di questi quattro secoli ne è stata prodiga fattrice.

Renato Cartesio (1596-1650)

Al di sopra di ogni lode, inconfutabile, è soprattutto il successo didattico.

Malgrado la sua naturalezza narrativa, però, l’insegnamento della geometria analitica è relativamente giovane. R. Hersh racconta di averla appresa nelle scuole superiori e subito gli apparve «un enorme tritacarne: si mette dentro il problema, si gira la manovella e esce fuori la risposta». Anche in Italia, la geometria analitica si studiava nelle scuole superiori e non in tutti gli istituti. Niente nel liceo classico e niente nell’istituto magistrale di una volta. Al liceo scientifico si cominciava al triennio: asse delle ascisse, delle ordinate, ecc.  Con i programmi del 1979 la geometria delle coordinate fu introdotta con successo nella scuola media e l’ulteriore anticipazione la realizzarono i programmi del 1985 per la scuola elementare. Oggi è tra le conoscenze più diffuse e radicate nella formazione matematica dei giovani a partire dalle esperienze della scuola dell’infanzia.

Jean Dieudonnè, che appartiene alla schiera degli eredi più diretti di Cartesio, in L’arte dei numeri (1989) afferma che le grandi innovazioni della matematica del XVII secolo sono tre: il concetto di funzione, il calcolo infinitesimale, la geometria di Cartesio.

Va aggiunto però che, se la radice del concetto di funzione si perde nella notte dei tempi e nella mente di chi voleva cogliere il legame tra enti in movimento, e se i semi del calcolo infinitesimale si ritrovano già copiosi nelle opere di Archimede, è la geometria cartesiana che fornisce ad entrambi il lievito per crescere consentendo alla matematica di rivelarsi la strada che porta alla realtà per usare l’efficace  espressione di Sir Roger Penrose. La strada cioè rivelata in quella notte di sogno, risposta all’interrogativo di Ausonio: Quod vitae sectabor iter? La via della scienza è la matematica!

 

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