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La matematica della democrazia

George G. Szpiro, La matematica della democrazia. Voti, seggi e parlamenti da Platone ai giorni nostri, 2013 – Numbers Rule. The Vexing Mathematics of Democracy from Plato to the Present, 2010.

Un matematico alle prese coi paradossi democratici

L’autore insegna Matematica Finanziaria a Gerusalemme e Zurigo. Mette in luce i paradossi della democrazia. Spazia dall’antichità classica alla realtà contemporanea. L’andamento narrativo è accattivante. Il tono divulgativo non inficia il valore scientifico del lavoro. Qui si procederà per accenni sintetici alla sostanza del discorso. In appendice aggiungiamo alcuni link.

Struttura dell’opera

Szpiro in prefazione sintetizza i difetti di qualsiasi sistema elettorale. Ciascun capitolo è seguito da approfondimenti e da un’appendice biografica. Alcuni capitoli recano appendici matematiche. Diverse tabelle illustrano i diversi  metodi e mettono in rilievo  i rispettivi paradossi. Bibliografia ampia, anche se non  esaustiva. Utile l’indice analitico.

Utilità della riflessione sui sistemi elettorali

È stata rivendicata l’importanza dell’educazione civica.  In questo ambito non può mancare lo studio dei sistemi elettorali. Argomento importante  per comprendere funzioni e disfunzioni di una democrazia.

Matematica e politica in Platone

Nelle Leggi  Platone delinea in termini matematici il suo Stato ideale. Consistenza della cittadinanza: 5040 famiglie (420 famiglie per ciascuno dei 12 demi). La cittadinanza ovviamente è soggetta a variazioni, ma Platone la concepisce come stabile. Consistenze di Assemblea, Consiglio, Corti di Giustizia, caratteristiche degli elettori, modalità di voto definite numericamente con meticoloso rigore. Per conferire le cariche estrazione a sorte. Nell’Assemblea uguale numero di seggi per ricchi e poveri. I poveri,  maggioranza della popolazione, restano sottorappresentati. Evidenti i difetti della democrazia platonica. Uso estremamente rigido della matematica.

Le votazioni nell’antica Roma

Szpiro non tratta l’argomento delle votazioni in Roma antica. Avrebbe potuto soffermarsi almeno sul modo di votare nei comizi centuriati  per eleggere cariche fra cui i consoli. Popolazione suddivisa in cinque classi in base al censo con centurie all’interno di ciascuna. Ordine decrescente dai più ricchi ai più poveri. All’inizio estrazione a sorte della centuria praerogativa dalla prima classe.  Centuria che esprime per prima il suo voto palese, destinato a influire sul prosieguo delle votazioni. Tocca poi votare alle centurie secondo l’ordine dalla prima alla quinta classe. L’ordinamento è in base al censo. Ogni centuria dispone di un voto. È da raggiungere la maggioranza assoluta di 97 voti su 193. Se  la maggioranza assoluta viene raggiunta già in seno alla prima classe, le  classi successive sono  escluse dal voto. Ciò  a scapito dei più poveri. Vano qualche tentativo di modifica. Anche in Roma antica la matematica resta antidemocratica.

Votazioni in ambito giudiziario

Per il mondo latino Szpiro si limita a ricordare un’epistola di Plinio il Giovane. La questione riguarda la percentuale  di votanti  in un processo. Si tratta di assolvere o condannare gli imputati dell’assassinio di un certo Afranio Destro. La scelta è fra condanna a morte, esilio o assoluzione. I fautori della pena di morte e i fautori dell’esilio si accordano per l’esilio col 60% dei voti. Antico esempio di alleanza strategica.

Artificio e arte elettorale in Raimondo Lullo

Nel secolo XIII Raimondo Lullo (1232-1316) affronta il problema del voto a maggioranza semplice o anche qualificata coi 2/3 dei votanti. Lo fa in un capitolo del romanzo devozionale Blanquerna e nei trattati Artifitium electionis personarum e De arte electionis. I  candidati entrano in  chiesa in fila indiana.  Fra A e B si sceglie il candidato che dovrà gareggiare con C e così via. Con questo metodo coloro che entrano per primi in chiesa risultano svantaggiati.

Niccolò Cusano e le elezioni in ambito ecclesiastico

Niccolò Cusano (1401-1464) nel trattato De concordantia Catholica affronta il problema dell’elezione dei Papi. Siano, poniamo,  10 i candidati. Ciascun elettore dispone di 10 foglietti coi loro nomi. Quindi procede a numerarli da 1 a 10, a cominciare dal candidato per lui meno adatto. Tutte le schede vengono insaccate. Un religioso procede alla lettura dei nomi estratti dal sacco coi numeri ad essi assegnati.  Si sommano i punti ottenuti da ciascun candidato. È evidente che il vincitore di Cusano può essere diverso dal vincitore di Lullo.

Dalla volontà divina alla razionalità umana: ripresa della discussione sui metodi elettorali nel Settecento

In caso di controversie  la mentalità medievale non disdegnava di dirimerle mediante l’estrazione a sorte. Il risultato era ritenuto espressione della volontà divina. Convinzione destinata ad essere messa in crisi dal razionalismo illuministico.

Il paradosso di Condorcet

A Nicolas de Condorcet (1743-1794) si devono fra l’altro il trattato Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix e l’articolo Sur les élections sul Journal d’instruction sociale. Il paradosso di Condorcet consiste nell’impossibilità di stabilire quale fra più di due candidati sia il preferito dalla maggioranza degli elettori. Ecco uno schema semplificato al massimo.

Nicolas de Condorcet (1743-1794)

Siano 1, 2, 3  gli elettori e l’ordine delle loro preferenze per i candidati A, B, C sia il seguente:
preferenze di 1 = A > B > C
preferenze di 2 = B > C > A
preferenze di 3 = C > A > B
Se ne ricava:
preferenza di 1 e 3 = A > B
preferenza di 1 e 2 = B > C
preferenza di 2 e 3 = C > A
A è preferito da 2 elettori. B è preferito da 2 elettori. C è preferito da 2 elettori.
Nessuno dei 3 candidati raggiunge la maggioranza dei voti.

Condorcet contro Borda

A Jean Charles de Borda (1773-1779) si deve l’opera Mémoires sur les élections au scrutin.  Condorcet prende posizione contro il metodo in essa proposto. Le ragioni sono illustrate da Szpiro con un esempio.
“Ottantuno votanti devono fare la loro scelta tra Tom Dick e Harry (i numeri sono di Condorcet, i nomi sono mia invenzione). Le loro preferenze sono le seguenti:
30 votanti: Tom >Dick>Harry
1 votante:  Tom>Harry>Dick
10 votanti: Harry>Tom>Dick
29 votanti: Dick>Tom>Harry
10 votanti: Dick>Harry>Tom
1 votante:  Harry>Dick>Tom

Condorcet spiega brevemente che il metodo Borda assegna tre punti di merito al primo classificato, due al secondo e uno all’ultimo.  Tom riceve pertanto 182 m-unità, Dick 190 e Harry 114. Di conseguenza, Dick è dichiarato vincitore. Questa scelta riflette però la reale volontà dei votanti? Scavando più a fondo nelle preferenze – dopo tutto, è questa la caratteristica del metodo Borda – emerge che 41 votanti preferiscono  Tom a Dick, mentre solo 40 classificano Dick superiore a Tom. Con il sorriso sulle labbra, Condorcet non manca di rilevare che per Borda il vincitore sarebbe stato  Dick, seppure preferito da meno della metà dei votanti.”

L’intervento di Laplace

Inconveniente non trascurabile quello del voto strategico. Per  Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) era chiaro che con l’aumentare del numero degli elettori aumentava anche il pericolo che la decisione della maggioranza potesse essere erronea. Ciò in ragione del possibile aumento dei complotti. Laplace era per la maggioranza assoluta dei votanti. Poteva accadere che fra 3 o più candidati nessuno la raggiungesse. Rimedio: procedere al ballottaggio per scegliere il vincitore fra i due candidati risultati in testa.

Il contributo di Lewis Carroll alias Charles Lutwidge Dodgson

Più noto come Lewis Carroll quale  autore di Alice’s Adventures in Wonderland,   Charles Lutwidge Dodgson (1832-1898) da docente a Oxford si trovò a dover affrontare il problema dell’assegnazione di borse di studio. Lo studiò in A Discussion of the Various Methods of Procedure in Conducting Elections. È da escludere che conoscesse Lullo, Cusano, Borda, Condorcet. Al voto a maggioranza preferiva il metodo a punti.

Cercò di perfezionarlo contro le possibili manipolazioni. Zero punti al candidato col minor numero di preferenze. Uguale punteggio ai candidati raggruppati in un medesimo scaglione. Insoddisfatto, tornò sull’argomento con Suggestions as to the Best Method of Taking Votes Where More than Two Issues Are to be Voted on. In mancanza di una maggioranza assoluta, votare per coppie di candidati. Purtroppo votando per due candidati alla volta si poteva generare un ciclo alla stregua del paradosso di  Condorcet: A batte B, B batte C, C batte D, D batte A. Come interrompere un ciclo è l’argomento di A Method of Taking Votes on More than Two Issues.

Si può chiedere di cambiare opinione: vince il candidato per il quale cambia opinione il numero più basso dei votanti. Oppure si contano gli scambi necessari affinché ciascun candidato possa finire in cima: il minor numero di scambi assicura il “punteggio Dogson”. Ma qual è in ogni caso il “vincitore Dogson”? Qui sorge il problema dei passaggi di calcolo. Passaggi che aumentano in ragione dell’aumento di candidati e votanti. Ne discende un aumento esponenziale dei tempi di calcolo necessari. Tempi difficili da gestire anche con l’ausilio dell’informatica.

La vexata quaestio della ripartizione dei seggi

Szpiro ricorda i vari tentativi compiuti in paesi con diversi Stati membri (USA) o diversi Cantoni (Svizzera) per assicurare una ripartizione equa dei seggi in Parlamento. Ripartirli proporzionalmente alla popolazione comporta resti frazionari. Arrotondando i resti, varia il numero dei seggi da assegnare. Ciò a scapito dell’equità. Altro fattore da considerare è l’aumento demografico, da cui consegue il “paradosso della popolazione”. Possono subentrare diversi altri paradossi, fra cui  il  “paradosso del nuovo Stato”. Le variazioni del numero degli abitanti e della realtà territoriale comportano infatti ricadute sulla consistenza dell’elettorato. L’equità quale requisito della democrazia resta insidiata anche da questi fattori.

Lo scontro fra il metodo W-W e il metodo H-H

Censimento del 1910 negli USA: nei dieci anni precedenti la popolazione era passata da 75 milioni a oltre 91 milioni di abitanti. Fu elaborato il metodo W-W (Webster-Willcox), detto “metodo dei quozienti con arrotondamento standard”. Si trattava di “trovare un divisore per le popolazioni dei vari Stati tale che il risultato, arrotondato per eccesso o per difetto al numero intero, desse la quantità desiderata di seggi”. Al metodo W-W si contrappose il metodo H-H (Huntington-Hill) o “metodo delle uguali proporzioni”, per ridurre al minimo le differenze relative. Questo metodo comportava che l’arrotondamento dovesse essere effettuato con la media geometrica.

L’arbitrato dell’Accademia Nazionale delle Scienze

Per dirimere la vexata quaestio, il Congresso si rivolse all’Accademia Nazionale delle Scienze. Questa creò una Commissione che optò per  il metodo H-H. La scelta non fu definitiva. In seguito ai successivi censimenti la problematica di partenza si ripresentò. Di volta in volta si riproponeva la contrapposizione fra matematica e politica. L’Accademia Nazionale delle Scienze creò una nuova Commissione presieduta da John von Neumann. Era stato proposto il “metodo Camera moderna”.  Consisteva nel confrontare i risultati dei diversi metodi non per coppie di Stati, ma fra tutti gli Stati. La Commissione ritenne casuale tale metodo. Era come se dall’estrazione a sorte del medioevo si passasse alla roulette. In luogo della volontà divina subentrava l’arbitrio del caso.

Dalle preferenze individuali a una decisione sociale secondo Arrow

Kenneth Arrow (1921-2017) sa bene quali siano i difetti del voto a maggioranza semplice. Affronta quindi il problema di fondo: come passare dalle preferenze individuali a una decisione sociale. Stabilisce due assiomi. 1) Fra due alternative si può preferire l’una o l’altra oppure nessuna delle due. 2) Le preferenze devono essere transitive (superamento della ciclicità). Stabilisce cinque condizioni. a) Dominio non ristretto: da qualsiasi insieme iniziale possibilità di passaggio a un ordinamento sociale completo. b) Monotonicità: se un individuo cambia preferenza, la nuova preferenza non può essere valutata. c) Indipendenza delle alternative irrilevanti: la scelta non deve essere condizionata da fattori estranei. d) Non imposizione. e) Non dittatorialità.

Teorema dell’impossibilità e paradosso del voto

Kenneth Arrow formula il teorema dell’impossibilità e il paradosso del voto. Teorema dell’impossibilità: “Non è possibile elaborare una funzione di scelta sociale qualora le alternative fra cui scegliere siano più di due”. Paradosso del voto: “La sovranità degli elettori è incompatibile con la razionalità collettiva”. Conclusione perentoria:

“Non esiste nessuna costituzione democratica che realizzi un metodo coerente di scelta sociale […]”

Tanto più che gli elettori possono non brillare per consapevolezza o per onestà.

La manipolazione elettorale

Resta quindi da affrontare il problema del voto strategico. La manipolazione elettorale è l’argomento studiato da Allan Gibard in Manipulating of Voting Schemes. A General Result. Non esiste alcun metodo esente da possibili manipolazioni. Dell’argomento si occupa anche Michel Balinski. Con Peyton Fair elabora Representation. Meeting the Ideal of One Man, One Vote.

Aggiungiamo che sul sito mitpress.mit.edu si dà notizia in breve del contenuto di Majority Judgment di Michel Balinski e Rida Laraki. Il loro metodo dovrebbe evitare paradossi come quelli di Condorcet e di Arrow:

“[…] Balinski and Laraki argue that the question should not be how to transform many individual rankings into a single collective ranking, but rather, after defining a common language of grades to measure merit, how to transform the many individual evaluations of each competitor into a single collective evaluation of all competitors. The crux of matter is a new model in which the traditional paradigm to compare is replaced by a new paradigm to evaluate.”

La matematica dimostra l’imperfezione della democrazia

Szpiro così conclude:

“Tutti i metodi di elezione e tutte le tecniche di ripartizione hanno i loro difetti: paradossi, stranezze, misteri, enigmi e intoppi che impediscono alle perfette procedure democratiche di restare immutabili”.

In definitiva la matematica risulta di fondamentale importanza per il vivere civile. Rivela i limiti della democrazia. In tal modo sollecita tutti all’impegno per rimediare alle carenze delle procedure democratiche. La sua operazione di smascheramento esige una presa di coscienza dei cittadini ed è un severo monito per i politici.

Appendice per approfondire

Suggerimento didattico

Data l’importanza dell’educazione civica quale disciplina di studio, esaminare criticamente i sistemi di voto con l’ausilio della matematica può essere un’attività di indubbio valore formativo nella quale coinvolgere gli allievi. Si pensi alle possibili simulazioni di procedure elettorali all’interno delle classi. Andando così dalla teoria alla pratica come iniziazione a personali riflessioni sulla democrazia.

 

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