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La matematica insegnata da nonni maestri dell’astrazione

Relazioni d’equivalenza e insiemi quozienti. Astrazione … per bambini. La matematica insegnata da nonni accademici: Enrico Bompiani.

Roma, 1965: Enrico Bompiani con Giovanni Battista Rizza e Vittorio Dalla Volta ( a destra).

Astrazione … per bambini è il titolo di un articolo di Enrico Bompiani (1889 – 1975) pubblicato dal Periodico di Matematiche nel numero 3 del 1973. L’articolo è il racconto che Bompiani fa a Bruno de Finetti, direttore del Periodico, di un episodio che si è svolto tra lui e la sua nipotina di 5 anni e poco più.

Bompiani, tra i più autorevoli geometri italiani del Novecento, era rimasto molto compiaciuto dalla decisione di de Finetti di riprendere (1972) la pubblicazione del Periodico. Aveva pertanto deciso di offrire di nuovo la sua collaborazione iniziata ai tempi in cui la rivista era ancora Periodico di Matematica, al singolare. Nel 1916 aveva infatti pubblicato Centro di curvatura di una conica in un suo punto  e poi altri articoli nel 1923, nel 1934, nel 1937, nel 1968. L’ultimo suo contributo è del 1974. È Matematica e Arte, che vale la pena di leggere quale fonte di spunti per lavori interdisciplinari e a tal fine qui si ripropone. Vi si trova peraltro una accurata descrizione della misura estetica che George David Birkhoff  pensò di introdurre come rapporto tra ordine e complessità e che fornisce un valore di bellezza di un manufatto, ad esempio, un vaso. Questione che si trova citata anche in Geometria intuitiva di Hlibert e Cohn-Vossen.

Ecco il testo di Astrazione … per bambini interessante anche per chi non è più un bambino:

Essa stava giocando con piastrine di platica di vari colori e di vare forme. Mi parve opportuno cogliere l’occasione per fare un esperimento di intelligibilità, anche a quell’età, della nozione di relazione d’equivalenza e quella di insieme quoziente rispetto ad essa di un insieme dato. Le chiesi anzitutto di dividere quelle piastrine in tanti gruppetti  in modo che in uno di essi vi fossero tutte e sole le piastrine di un solo colore. Senza usare parole difficili, le feci osservare che il criterio adoperato per la divisione in gruppetti aveva i caratteri che definiscono una relazione (riflessiva, simmetrica, transitiva) d’equivalenza. Ogni gruppetto forniva un elemento dell’insieme quoziente di quello dato rispetto a quella relazione.

Poi lasciai alla bambina di proceder analogamente prendendo come criterio l’uguaglianza di forma (per es. quadrati, rettangoli, rombi, cerchi ecc.) e di trovare l’insieme quoziente della totalità delle piastrine rispetto alla nuova relazione di equivalenza.  E così con altri esempi facili ad attuarsi con oggetti di uso comune da distinguersi secondo l’uso o la natura del materiale con cui sono costruiti, ecc. Tutto questo non presenta alcuna difficoltà, ma subito si allarga la mente del bambino, e gli dà soddisfazione, portando la sua attenzione non ad un singolo caso ma ad un concetto che domina tanti casi. E questo è il valore dell’astrazione.

«Astratto» non vuol dire, come invece spesso si usa nel linguaggio comune, «campato in aria», ma è invece – come indica l’etimologia dal latino – «tratto da» e quindi «fondato su» vari fatti osservati dai quali emerge qualche cosa di comune. E qui, per chiudere, vorrei fare un’altra postilla etimologica: «osservare», sempre dal latino, vuol dire «allo scopo di serbare, conservare» (nella memoria). Questa è l’operazione fondamentale da cui nasce tutta la scienza. Lo sapeva già Dante: «… non fa scienza sanza lo ritenere aver inteso».Enrico Bompiani, Astrazione ... per bambini, Periodico di Matematiche 3/1973

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