Una bella pagina di Jean Piaget: per insegnarla sarebbe utile sapere se la matematica è una scoperta o un’invenzione.
Nell’articolo Il teorema dell’ultimo perché, la riflessione ci aveva condotti a concludere che, se potesse esistere un teorema «ultimo» della matematica, allora non esisterebbe più alcun mistero: la natura stessa della matematica sarebbe pienamente svelata.
Sapremmo che cos’è, perché esiste e dove nasce: nella mente di Dio o in quella dell’uomo. Sapremmo dunque se è scoperta o invenzione.
Ma a chi interessa davvero perdersi in simili perché? Vale la pena soffermarsi su una questione antichissima, che sembra ormai confinata tra le curiosità di pochi cultori della filosofia?
Tutt’al più se ne può discutere a volo d’uccello, quasi come diversivo rispetto all’impegnativo fare matematica. E ricordare magari la soluzione tanto elegante quanto ambigua che taluni matematici sembrano condividere: considerarla un’invenzione nei giorni feriali, quando lavorano tra definizioni, dimostrazioni e costruzioni formali; una scoperta nei giorni festivi, quando — liberi da ogni vincolo tecnico — possono abbandonarsi ad ammirare, quasi con stupore, le meravigliose strutture matematiche della natura.
Eppure questa oscillazione, che può apparire persino divertente, ha radici intellettuali molto più profonde. È l’eco di una tensione che attraversa l’intera storia del pensiero occidentale.
Per Platone la questione quasi non si pone: la matematica si scopre. Gli enti matematici appartengono a una realtà ideale, eterna e necessaria, indipendente dall’uomo. Il matematico non li crea: li riconosce.
Diversa, e più sottile, è la posizione di Aristotele. Gli enti matematici non sono, propriamente parlando, creazioni arbitrarie della mente, ma vengono considerati separatamente dalla materia attraverso quell’attività di astrazione con cui l’intelligenza ne fa oggetto di conoscenza.
La posizione di Aristotele offre anche lo spunto per cogliere la dimensione educativa della questione. È sua, tra l’altro, la celebre osservazione secondo cui il segno distintivo di chi sa è la capacità di insegnare. Chi insegna, dunque, non dovrebbe limitarsi a possedere tecniche e risultati: dovrebbe penetrare, per quanto possibile, i principi e la natura stessa del sapere che insegna. E dovrebbe interrogarsi su come quel sapere possa formarsi nella mente di chi apprende.
Ed ecco che la domanda scoperta o invenzione? cessa di essere soltanto una curiosità filosofica. Se forse non interessa a tutti, dovrebbe interessare almeno a chi la matematica la insegna ed è chiamato a osservare come si sviluppa la progressiva formazione dei concetti nella mente degli studenti.
È precisamente da qui che prende le mosse Jean Piaget. Nella bella pagina che riproponiamo, il problema della natura della matematica viene posto contemporaneamente dal punto di vista dell’epistemologo e da quello del pedagogo. L’antica questione filosofica diventa così anche un problema psicologico: occorre capire che cosa accade nell’intelligenza quando si formano gli enti e le relazioni matematiche.
Se la matematica è scoperta, bisogna comprendere come la mente giunga progressivamente ad accedere a qualcosa che le preesiste. Se invece è costruzione dell’intelligenza, bisogna spiegare come tale costruzione possa produrre strutture caratterizzate da necessità, coerenza e universalità.
Piaget sposta l’attenzione dagli enti matematici considerati isolatamente alle operazioni e alle relazioni che li costituiscono. Il problema non è più soltanto chiedersi dove siano i numeri, i punti o le rette prima che li conosciamo, ma se gli enti matematici preesistano alle operazioni oppure siano, almeno in qualche senso, generati dalle operazioni stesse.
Ed è qui che Piaget riprende un elemento destinato a diventare decisivo nella sua concezione: la nozione di struttura, che Bourbaki aveva posto al centro dell’architettura della matematica. Non si tratta più di partire da enti semplici, già dati, sui quali successivamente si opera; occorre domandarsi se non siano proprio le strutture operatorie a conferire agli elementi le loro proprietà e il loro significato. La vecchia alternativa tra scoperta e invenzione acquista così un significato nuovo e, soprattutto, educativo.
Forse non arriveremo mai a stabilire definitivamente se la matematica sia scoperta o invenzione; del resto, abbiamo già escluso la possibilità di giungere a quell’«ultimo teorema» che avrebbe potuto svelarne definitivamente la natura. Ma Piaget ci ricorda qualcosa di meno spettacolare e, per chi insegna, forse più importante: interrogarsi sulla natura della matematica significa interrogarsi anche sul modo in cui essa nasce nella mente di chi apprende.
Perché ogni volta che un allievo arriva a comprendere veramente un concetto matematico, l’antichissima domanda torna silenziosamente a presentarsi: quella matematica l’ha scoperta o l’ha costruita?
Ecco la pagina di Jean Piaget
Questo problema, antico quanto la filosofia occidentale, si può oggi porre in termini di psicologia, ed anche di psicologia del fanciullo. Fra l’altro, lo studio del nostro sviluppo mentale deve condurre a riconoscere se l’attività dell’«io» e le operazioni del pensiero sono sufficienti a spiegare la costruzione degli enti matematici, oppure se questi vengono scoperti dal di fuori, come accade degli enti fisici e delle loro proprietà oggettive, ed anche di quegli enti ideali costituiti dalla sintassi del linguaggio imposto all’individuo dall’ambiente (è noto che il paragone tra gli enti logico-matematici e i legami linguistici è sostenuto da un gran numero di studiosi di logica, benché la loro ultima preoccupazione sia di natura convenzionalista o platonica).
Se il ricorso all’esame psicologico della genesi dei concetti consente di affrontare con metodi nuovi questo eterno problema, d’altra parte i suoi stessi termini sono stati recentemente rinnovati dalle prospettive aperte, grazie ai «Bourbakiani», sull’architettura della matematica, e dall’importanza fondamentale attribuita in questi lavori alla nozione di «struttura».
Per lungo tempo si sono cercati alla base dell’edificio matematico degli enti semplici, immaginati in un modo più o meno atomistico. Potevano essere i numeri interi, che il Kronecker attribuiva a Dio stesso in opposizione a tutte le altre varietà numeriche, dovute agli uomini; oppure il punto, la retta, ecc., dalla cui composizione nasceva lo spazio. Ma in ogni caso si trattava sempre di enti dati in se stessi, che lo spirito era portato a contemplare o a manipolare, secondo che la riflessione non aveva ancora coscienza dell’ufficio delle operazioni o che applicava queste agli enti semplici, come gli utensili di cui si serve un muratore per cementare il materiale per la costruzione d’un muro o d’una casa. Anche se i fondamenti consistono in «strutture» e se la costruzione procede per loro mezzo dal semplice al complesso e dal generale al particolare, le prospettive sono altre.
Una struttura, quale per esempio il «gruppo», costituisce un sistema operatorio: il problema è allora quello di sapere se gli elementi di natura molto diversa ai quali si applica la struttura esistono precedentemente ad essa, ossia hanno significato sufficiente indipendentemente da essa, o se è al contrario l’azione della struttura — azione dapprima non espressa in modo esplicito, poiché la presa di coscienza ha luogo in ordine inverso a quello della genesi — che conferisce agli elementi le loro proprietà essenziali. Più precisamente, il problema psicologico (che è l’unico di cui trattiamo) consiste nello stabilire se gli enti che servono da elementi per le strutture costituiscono il prodotto di operazioni che li generano, o se preesistono alle operazioni che in seguito si applicano ad essi.
Ora, a questo proposito appaiono significative le rielaborazioni a cui conduce l’idea di struttura nel giuoco delle definizioni e delle dimostrazioni. Invece di definire gli elementi isolatamente, ricorrendo a convenzioni o costruzioni, la definizione strutturale consiste nel caratterizzarli mediante le relazioni operatorie che li legano come facenti parte del sistema.Jean Piaget — Le strutture matematiche e le strutture operatorie dell'intelligenza
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