La mossa del cavallo

La mossa del cavallo. Dalla scacchiera alla realtà. Da problema matematico a metafora di strategia politica.

Chirone e Achille – MAN Napoli

Nella storia dei popoli quella del cavallo non è una presenza banale. Insieme all’uomo c’è il cavallo, che per prima l’ha reso ‘cavaliere’. Pegaso è nella mitologia e nel cielo stellato. Altri cavalli, alati e non, sono nelle favole, nelle arti figurative e nella musica come la celeberrima Cavalcata delle Walchirie. Senza dimenticare il Centauro, uomo-cavallo e cavallo-uomo, che nel caso di Chirone è mito di forza e di intelligenza e che Zeus volle accanto a sé fra le costellazioni celesti. Ci sono le statue equestri nelle piazze e c’è la cavalleria, poi divenuta pesante, nelle guerre, da quelle vere a quelle finte dei film che narrano dei grandi imperi, degli Unni, dei Mongoli e degli Indiani d’America.

Abbandonati i pellerossa, le guerre, le piazze e finanche i campi da arare e le carrozze per viaggiare, il cavallo conserva il rango di status symbol e mantiene il suo posto sulla scacchiera. Qui, tra i pezzi del gioco degli scacchi, resta un protagonista. Si muove saltando a “L” con evidente richiamo a strategie di lotta sui campi di battaglia. È un movimento, il suo, assurto a metafora di iniziativa tanto abile quanto inattesa, adatta a liberarsi da un impedimento o ad uscire da una situazione critica.

La mossa del cavallo:

Don Chisciotte e Ronzinante – H.Daumier

Andrea Camilleri titolò così un suo racconto del 2000. E così ha fatto di recente il senatore Matteo Renzi per il suo libro del 2020. Qui si afferra subito il senso metaforico. Si intuisce che riguarda l’ambito politico che è quello dove il senatore si muove. Anzi, gli esperti di cose scolastiche sono portati subito ad ipotizzare una decisa simpatia dell’autore per la mossa del cavallo. Fu la strategia, infatti, che il governo Renzi adottò per il varo della legge della Buona Scuola. Partita da una sicura e sacrosanta posizione di immissione in ruolo di centomila docenti precari saltò così in alto da volare ad una riforma globale del sistema scolastico, poi dileguatasi in abissi pseudo-siderali.

A parte l’uso metaforico, la mossa del cavallo ha anche un valore matematico di tutto rispetto. In realtà è la scacchiera che si presta a essere, didatticamente, un buon appezzamento di terreno per fare matematica. Lo è già da quando nacque e s’impose come ambiente di gioco. E lo è di più, per il significato che il gioco ha via via assunto nella costruzione di modelli astratti di decisione razionale in situazioni in cui intervengono sia la competizione tra i partecipanti che elementi d’incertezza. Cioè il punto di vista della moderna teoria dei giochi della quale è stato punto di partenza il libro di Oskar Morgenstein e John von Neumann Theory of Games and Economic Behavior del 1947.

La leggenda degli scacchi lega la sua invenzione a due signori dell’antichità: un mercante intelligente e un principe tanto ricco da ritenere che niente gli fosse precluso.

La vicenda fu riproposta ai giovani candidati alla maturità scientifica del 2006, con il seguente quesito:

Si narra che l’inventore del gioco degli scacchi chiedesse di essere compensato con chicchi di grano: un chicco sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza e così via, sempre raddoppiando il numero dei chicchi, fino alla 64^a casella. Assumendo che 1000 chicchi pesino circa 38g, calcola il peso in tonnellate della quantità di grano pretesa dall’inventore.

In effetti il quesito è tronco.

La parte più importante manca: rimase inconsciamente nella “penna” dell’estensore. Manca la richiesta della valutazione dell’ordine di grandezza del risultato comparato con altre quantità presenti nella realtà vissuta. Manca cioè la parte più strabiliante della richiesta dell’inventore avendosi a che fare con risultati coinvolgenti quantità non alla portata di ciò che è umanamente trattabile o dominabile.

Marco Aurelio – Roma

Per inciso va detto che dalle informazioni assunte presso alcune commissioni d’esame, sembra che il quesito non fu granché affrontato dai maturandi. Mancano però dati più precisi non essendosi, quell’anno, effettuata l’indagine nazionale Matmedia che aveva così bene servito la causa della matematica alla maturità e che dal 2015 è divenuta tutt’altra cosa, trasformata in un adempimento formale delle segreterie dei licei.

Giochi ed esercizi sulla scacchiera sono ampiamente utilizzati nell’insegnamento della matematica. E molti sono gli autori che ne parlano anche con riferimento a questioni che non sono affatto un gioco. Ad esempio Ian Stewart in Dio gioca a dadi? – Bollati Boringhieri, 1993, mostra come lo studio delle previsioni metereologiche sia affrontato come una partita a scacchi giocata su un’immensa scacchiera tridimensionale e con un numero immenso di pezzi. Paul Hoffman invece, in La vendetta di Archimede, Bompiani 1990, racconta della passione per gli scacchi di Alan Turing che lo portò a fare in modo che anche le macchine potessero giocarvi. Sulle macchine che sanno giocare a scacchi vi sono oggi ampi resoconti scientifici e divulgativi.

Sugli scacchi molto si trova, ovviamente, in Martin Gardner.

Ma anche Hugo Steinhaus dedica alla scacchiera alcune pagine del primo capitolo del suo Matematica per istantanee. L’edizione originale polacca di questo libro è del 1938 ma quelle “istantanee” ancora si distinguono, come ebbe a scrivere Morris Kline, per il loro valore di buona matematica.

Nella rassegna di problemi sulla scacchiera, H. Steinhaus include quello riguardante la passeggiata del cavallo proposto, pare, per la prima volta in un manoscritto arabo del IX secolo [si veda qui ]. Se ne occuparono anche Abraham De Moivre, esperto di giochi d’azzardo, e Leonardo Eulero che ne ha lasciato una variante militaresca confacente a quel periodo storico retto dalle predilezioni di Federico II di Prussia per eserciti, reggimenti e ufficiali. [Vedi: la fine di una congettura di Eulero]

In breve:

figura a)

al cavallo occorrono 63 mosse per passare, una e una sola volta, su tutte le caselle della scacchiera. Nella figura a) la casella contrassegnata 1 è quella di partenza, la 63 la penultima, la 64 l’ultima. Da questa è sufficiente un’altra mossa per ritornare a 1 e chiudere il percorso. Cosa che invece non è possibile nella figura b) dove la distanza tra 64 e 1 non può essere coperta con una sola mossa. Delle due figure, la prima ha qualcosa in più. C’è una poligonale, ovvero una spezzata, qualcosa cioè che appartiene al linguaggio della geometria ed è noto agli studenti delle scuole secondarie. Le caselle via via raggiunte nella successione delle mosse sono i vertici della spezzata. Quei lati rendono meglio l’idea della dinamicità del percorso e rivelano che il modello più appropriato  di rappresentazione della passeggiata del cavallo è un grafo hamiltoniano. In effetti, passeggiata del cavallo, teoria dei grafi, combinatoria, topologia e labirinti, hanno legami molto profondi i cui fili è possibile riannodare in Eulero, ritrovarne cioè una comune essenza nel problema del 1736 dei sette ponti sul Pregel a Königsberg.  Il grafo si dice chiuso nella figura a)  e aperto in b).

figura b)

In a) e in b) i percorsi sono diversi, ma presentano invarianti sorprendenti. Sono invarianti le somme dei numeri risultanti sulle righe e sulle colonne. La somma è sempre 260. Le passeggiate del cavallo hanno qui qualcosa di magico, anzi di semimagico. Danno luogo cioè a quadrati semimagici. Infatti, le diagonali, la principale e la secondaria, hanno somme diverse da 260. Sono rispettivamente 292 e 210 in b); 348 e 168 in a).

Quanti sono i percorsi del cavallo chiusi e quanti quelli aperti?

Sotto quali condizioni i percorsi, chiusi e/o aperti, danno luogo a quadrati semimagici? Quanti sono in totale i percorsi del cavallo sulla scacchiera 8×8? L’utilizzo del software sottoriportato può risultare utile a chiarire qualche aspetto del problema. Ad esempio partendo dalla casella (0,0), il software dà tutti i percorsi possibili. La letteratura sulle passeggiate del cavallo sulla scacchiera è ricchissima. Ricca di resoconti, illustrazioni, video, software interattivi. Anche di episodi che ancora fanno riflettere, come la vicenda del bambino di nove anni che in uno spettacolo televisivo della Germania di qualche decennio fa, recitava a memoria i numeri da 1 e 64. La sua però era una recita sorprendente. Ad occhi bendati, partendo da una casella indicatagli, dettava il percorso chiuso del cavallo sulla scacchiera.  Si parlò di acrobazie della mente, di esercizio e potenziamento della memoria, di ciò che è importante per la crescita e la  formazione. E ancora se ne può discutere.

A. De Moivre, 1722

Riepilogando, digitare “percorso del cavallo” o “knight’s tours” fornisce un numero consistente di riferimenti. Ed è significativo, per quanto sopra detto, anche il fatto che il noto Wolfram da “knight’s tours” rimandi immediatamente a Knight Graph.

Quanti sono i tour del cavallo?

Su una scacchiera 8×8, si è già detto, sono un numero enorme. In conclusione la mossa del cavallo, quella mossa ad “L” che salta sulle teste degli altri pezzi, finanche di quella del Re, ha veramente qualcosa di magico ma anche di indominabile. Il cavaliere che la sfrutta, politico o no,  dovrebbe in ogni caso essere cosciente che è lui a guidare. Non può credere, neppure metaforicamente, che il cavallo sia anche lui un senatore come quell’Incitatus che l’imperatore Gaio Giulio Cesare Augusto Germanico, detto Caligola, avrebbe voluto addirittura console.

Ecco allora il software. Assegnata la casella di partenza restituisce uno dei possibili percorsi.

Inserisci punto di partenza sulla scacchiera 8×8 [da 0 a 7](start x per l’ascissa e start y per l’ordinata)

Esempio: start x = 1 e start y = 3 –> (1, 3)

Premi il tasto Play in verde per avviare