La prova scritta della sessione ordinaria dei Licei Italiani in America Latina

MINISTERO DELL’ISTRUZIONE, DELL’UNIVERSITÀ E DELLA RICERCA

SCUOLE ITALIANE ALL’ESTERO

ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

Sessione Ordinaria 2004

Calendario australe

SECONDA PROVA SCRITTA

Tema di Matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

E’ assegnata una piramide retta a base quadrata il cui spigolo laterale misura a.

Si determini:

1. la piramide P di volume massimo e il rapporto di questo con il volume del cubo di spigolo unitario.
2. di quanto si deve ridurre l’altezza di P per ridurne il volume del 10% mantenendo inalterata la forma della piramide
3. la capacità in litri della sfera circoscritta a P  quando a=1,2metri.

PROBLEMA 2

La curva ? e la retta r hanno equazioni rispettive:

? :

r :

1. Si denotino con A e B ( A a sinistra di B) le intersezioni, nel secondo quadrante degli assi Ox e Oy, di ? con r,  e con R ed S si denotino le regioni finite di piano così individuate: R delimitata da ?  e dal segmento AB, S delimitata dall’asse x, da ? e dal segmento AO .
2. Si determini m in modo che R ed S siano equivalenti.
3. Si determini l’equazione della curva ? simmetrica di ? rispetto alla retta determinata al punto precedente.

QUESTIONARIO

1. Si dia un esempio di sistema lineare di due equazioni in due incognite compatibile, la cui soluzione è la coppia (-1, 2) e si esponga il ragionamento seguito.
2. Quale è la capacità massima di un cono circolare retto di apotema 12cm? Quale ne è il valore in litri?
3. Si dimostri che la derivata n-esima di un polinomio P(x) di grado n-1 è zero.
4. Si considerino gli insiemi   e  ; quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?
5. Se  , quanti sono i numeri reali k per i quali è f(k)=2? Si illustri il ragionamento seguito per giungere alla risposta.Nei saldi di fine stagione, un negozio ha diminuito del 25% il prezzo di listino di tutti gli articoli.
6. Se il prezzo scontato di un abito è di 210 euro quale era il suo prezzo di listino?
7. Quante soluzioni reali ammette l’equazione  ? C’è una  radice positiva  tra 1 e 2? Si illustri il ragionamento seguito.
8. Calcolare:
   

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Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili.
Non è ammesso lasciare l’aula degli esami prima che siano trascorse tre ore dalla dettatura del tema