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La scoperta degli irrazionali

La scoperta degli irrazionali Indubbiamente legata al teorema di Pitagora è la scoperta delle quantità irrazionali. Infatti il più classico esempio d

La scoperta degli irrazionali

Indubbiamente legata al teorema di Pitagora è la scoperta delle quantità irrazionali. Infatti il più classico esempio di numero irrazionale è proprio il rapporto tra la diagonale ed il lato di un quadrato.
Non si conosce esattamente quando e come sia stata fatta tale scoperta, ma l’ipotesi più plausibile è quella secondo cui essa risalga a pitagorici posteriori e si collochi su una data imprecisata anteriore al 410 a.C.; altri studiosi la attribuiscono a Ippaso di Metaponto (circa ultimo quarto del V sec. a.C.), mentre altri la posticipano di mezzo secolo.
La dimostrazione pervenutaci è quella di Aristotele e fa riferimento alla distinzione tra numeri pari e numeri dispari. Siano d ed l la diagonale ed il lato di un quadrato e supponiamo che siano commensurabili, ossia che il loro rapporto d/l sia un numero razionale m/n, con m ed n numeri reali privi di fattori comuni. Per il teorema di Pitagora  si ha che     d2 = l2+l2    ossia  (d/l)2 = 2, ma d/l = m/n, per cui (m/n)2= 2, cioè   m2= 2n2. Pertanto m2 è pari e quindi m è pari. Se poniamo m = 2p si ha che  4p2 = 2n2  da cui otteniamo che anche n dovrebbe essere pari contro l’ipotesi che m ed n non avessero fattori in comune. Ne segue che l’ipotesi della commensurabilità tra diagonale e lato di un quadrato è falsa.
La stessa dimostrazione si può riportare per dimostrare l’irrazionalità di √3, √5, ecc. e sembra che di essa se ne servì, più tardi, un maestro di Platone, Teodoro di Cirene, per dimostrare l’assurdità di supporre razionali tutte le quantità del suddetto tipo fino a √17, ovviamente escludendo √4, √9, √16.

 

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