La solidarietà locale/globale

La solidarietà locale/globale

La conoscenza locale implica quella globale

(da Emilio Ambrisi, Didattica delle Scienze, n.202/1999, Ed.La Scuola, Brescia)

 

         Se potesse capitare, come espressione matematica di una teoria, un polinomio, allora le cose sarebbero abbastanza semplici ed ordinate. Sia ad esempio

che tutti riconosciamo come una parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate. Supponiamo di conoscere i valori in tre punti distinti x0, x1, x2 allora il sistema

è compatibile ossia sono univocamente determinati a, b e c.

         Quello che è importante notare è che una informazione finita ovvero la conoscenza dei valori della funzione in tre suoi punti determina la conoscenza dell’intera funzione, una informazione dunque, potenzialmente infinita.

         Possiamo pensare che i punti x1, x2 siano molto vicini a x0. In questo caso l’informazione iniziale equivale ad avere assegnati in x0 oltre a y0 i valori delle derivate prima e seconda che denotiamo y0 e y0 . Si ha dunque il sistema:

che risolto rispetto ad a, b e c consente di scrivere l’equazione della parabola nella forma di Taylor

y=y0+(xx0)y0+xx022y0

         In questo caso è chiaro che l’informazione concentrata in un unico punto determina la conoscenza della funzione ovvero la conoscenza locale implica quella globale. Questo non è vero se non per le particolarissime funzioni polinomiali. Se una funzione f è differenziabile si ha:

  ove R è il resto: due funzioni differenziabili (di classe C) possono coincidere localmente senza esserlo dappertutto. In più quanto detto per i polinomi equivale anche ad affermare che essi non sono affatto stabili perchè è sufficiente perturbarli in un punto perchè siano perturbati ovunque (*)

g

 
             f

 

 

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