La formula di Taylor

La conoscenza locale implica quella globale. La formula di Taylor stabilisce una profonda solidarietà tra locale e globale.

(da Emilio Ambrisi, Didattica delle Scienze, n.202/1999, Editrice La Scuola, Brescia)

Se potesse capitare come espressione matematica di una teoria, un polinomio, allora le cose sarebbero abbastanza semplici ed ordinate. Sia ad esempio

che tutti riconosciamo come una parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate. Della parabola, supponiamo di conoscere i valori in tre punti distinti x₀, x₁, x₂. Allora il sistema

è compatibile, ossia sono univocamente determinati a, b e c.

Quello che è importante notare, e far notare agli studenti, è che una informazione finita ovvero la conoscenza dei valori della funzione in tre soli suoi punti determina la conoscenza dell’intera funzione, una informazione dunque, potenzialmente infinita.

Possiamo pensare che i punti x₁, x₂ siano molto vicini a x₀. In questo caso l’informazione iniziale equivale ad avere assegnati in x₀ oltre a y₀ i valori delle derivate prima e seconda che denotiamo y^‘₀ e y”₀ . Infatti, per due punti passa una ed una sola retta r e quando x₁ tende a x₀ la retta r tende alla tangente. Dare la tangente in un punto equivale a dare y^‘₀. Analogamente tre punti, non allineati, individuano una circonferenza. Quindi, assegnare tre punti infinitamente vicini equivale ad assegnare la curvatura della parabola in x₀ cioè  y”₀ .

Si ha dunque il sistema:

che risolto rispetto ad a, b e c consente di scrivere l’equazione della parabola nella forma di Taylor:

In questo caso è chiaro che l’informazione concentrata in un unico punto determina la conoscenza della funzione ovvero la conoscenza locale implica quella globale. Questo non è vero se non per le particolarissime funzioni polinomiali. Se una funzione f è differenziabile si ha:

ove R è il resto: due funzioni differenziabili (di classe C^∞) possono coincidere localmente senza esserlo dappertutto. In più quanto detto per i polinomi equivale anche ad affermare che essi non sono affatto stabili perché è sufficiente perturbarli in un punto perché siano perturbati ovunque.

g

 
             f