La somma dei quadrati delle cifre di un numero

Proposte didattiche: gli attrattori della funzione ricorsiva “somma i quadrati delle cifre di un numero”.

Sia n=123. Sommiamo i quadrati delle sue cifre: 1²  + 2²  + 3². Risultato:14.

Ripetiamo l’operazione per 14. Abbiamo: 1+16=17. Ripetiamo ancora: 1+49=50.

E poi ancora: 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89 e poi di nuovo 145 e 42 e……. via dicendo.

Più che un esercizio è un’attività ( la ricorsività si presta particolarmente) sui numeri adatta già a bambini di scuola elementare interessandoli al rafforzamento delle capacità di calcolo e alla scoperta di sorprendenti proprietà dei numeri naturali.

In questo caso, qualsiasi sia il numero da cui si parte, la funzione “somma i quadrati delle cifre del numero naturale n”  trattata ricorsivamente conduce a due distinti attrattori. Il processo della ripetizione termina o in 1 o entra nell’orbita del ciclo C dei numeri 14, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 e non ne esce più.

• In 1 vanno tutti gli n per i quali la somma dei quadrati delle cifre è 10 o una sua potenza. Ad esempio 13 e 31; 86 e 68, 1122 o una sua permutazione ecc..
• In C, invece, vanno a completare il loro cammino tutti gli altri numeri naturali. Nessuno escluso.

Che esista questo ciclo di pochi (otto) numeri che funge da orbita “gravitazionale”, un “secchio” dove gli altri vanno a finire, e che anzi l’intero panorama numerico, il cielo stellato dei numeri, sottoposto alla legge: “somma i quadrati delle cifre”, presenti “linee di forza” che spingono in due “buchi neri”, ha certo del mirabile.

Il disegno sotto illustra meglio delle parole la situazione. Le frecce indicano il “cammino” percorso dai numeri in esame.

Il disegno è dovuto a Hugo Steinhaus e si trova in Cento problemi di matematica elementare, Boringhieri, 1987 insieme ad una semplice ed elegante dimostrazione .

Una dimostrazione che non è solo abbastanza elementare ma è anche significativa per un altro aspetto. È un esempio di dimostrazione mista, parte dialettica, parte sperimentale. Ciò che avviene per tante altre dimostrazioni ad un livello più elevato, come la dimostrazione di Appel e Haken del teorema dei quattro colori.

Enunciato

Sia L un numero naturale di n cifre, con , sommando i quadrati delle sue cifre, dopo un certo numero di passi, se tale somma è diversa da 1 si giunge ad un numero appartenente al ciclo C.

Dimostrazione

Sia L un numero arbitrario di n cifre a_i con :

$L= {10}^{n–1}{a}_n+{10}^{n–2}{a}_{n–1}+...........+{10}^2{a}_3+10a_2+a_1$

Sia L₁ la somma dei quadrati delle cifre a_i , ossia:

$L_1={a_n}^2+{a_{n–1}}^2+..........+{a_3}^2+{a_2}^2+{a_1}^2$

Allora:

$L–L_1=\left({10}^{n–1}–a_n\right)a_n+\left({10}^{n–2}–a_{n–1}\right)a_{n–1}+........+\left({10}^2–a_3\right)a_3+\left(10–a_2\right)a_2–\left(a_1–1\right)a_1$

Si noti ora che   perché   e 

Se supponiamo e , risulterà   e      è

$\left({10}^{i–1}–a_i\right)a_i\ge 0$

per cui si ha: L – L₁ > 0 ovvero L > L₁

Così procedendo, si ottiene la successione L, L₁, L₂, …..che  dovrà necessariamente giungere, dopo un numero finito di iterazioni, ad un numero di due cifre L=10k +j. Basterà osservare che, ciò che vale per L  vale anche  per  M= 10j+k, dimezzandosi così i casi da verificare. Se si escludono  inoltre 1, 10,  e ancora  42, 20, 4, 16, 37, 58, 89  e di conseguenza  24, 2, 40, 61, 73, 85, 98,  alla fine rimangono un numero limitato, ventotto, di casi per i quali la proposizione si può verificare direttamente.

L’attività può proseguire. Ci si può chiedere cosa accade se in luogo dei quadrati si sommano i cubi o le quarte potenze, più in generale le potenze k-esime delle cifre. E’ decisamente un problema interessante da affrontare come matematica laboratoriale. Anche con l’aiuto delle calcolatrici e, in genere, dell’informatica.