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La strada matematica che porta alla realtà

La strada che porta alla realtà di Sir Roger Penrose disegna un nuovo itinerario didattico per la matematica e la fisica, integrate.

Il titolo è: La strada che porta alla realtà. È un libro che già solo a tenerlo fra le mani s’impone per volume e peso. A sfogliarlo, dispiega una sterminata e ondeggiante vastità di conoscenze fisiche e matematiche. Un immenso oceano di sapere che incute al lettore una sorta di iniziale smarrimento. Un libro “semplicemente straordinario”. Sentenziò già American scientist, specificando: “è incredibile che così tanto possa essere spiegato così bene”. E si potrebbe aggiungere: da una sola persona. Un solo cervello umano in grado di dominare la strada che porta alla realtà. Indicarla, insegnare a localizzarla, a percorrerla, a percepirne le mete. In più, spiegarlo così bene da fare del libro un’opera didattica.

La persona in grado di aver fatto tutto questo è Sir Roger Penrose. È vero, ha confessato di averci impiegato otto anni della sua vita. Otto anni della vita di uno scienziato eccezionale. Il matematico delle tassellature. Il fisico del premio Nobel del 2020!

Il libro è del 2004.

In Italia dal 2005, è stato oggetto di più edizioni e ristampe. L’ultima, l’ottava, nell’ottobre scorso. Più di 1200 pagine comprensive di 34 capitoli. Dal capitolo ove si analizzano le radici della scienza al capitolo dove si affronta il fondamentale tema della “realtà”. Un capitolo conclusivo che inizia con l’illustrazione delle grandi teorie della fisica del ventesimo secolo. Una fisica che è guidata dalla matematica sulla lunga strada verso la realtà.

Ma cos’è effettivamente la realtà?

In effetti qui ci si aspetterebbero risposte più precise, meno sfumate. Ma la conclusione di Sir Roger Penrose non è solo intelligente, è anche coerente con il significato dei risultati e delle teorie che ha descritto: la risposta a domande profonde suscita domande ancora più profonde.

Una visione idealistica della scienza che non ha una fine. Ci sarà sempre un seguito!

I fisici moderni descrivono invariabilmente le cose in termini di modelli matematici.

È come se cercassero di trovare la realtà nel mondo platonico delle idee matematiche. Un punto di vista simile sembrerebbe una conseguenza di una possibile teoria del tutto. In questo caso, infatti, la realtà fisica apparirebbe semplicemente come un riflesso di leggi puramente matematiche. Siamo sicuramente molto distanti da una simile teoria ed è argomento di discussione se qualcosa rassomigliante a una teoria del tutto potrà mai essere trovato.

“Sia come sia – scrive Penrose – è sicuramente vero che tanto più profondamente scandagliamo i segreti della Natura, tanto più profondamente siamo spinti nel mondo platonico delle idee matematiche mentre cerchiamo di capire.  Perché avviene ciò?”

Una visione dei Mondi (fisico, matematico, mentale) e dei Misteri che li legano, Penrose la esprime fin dalle prime pagine.

Lo fa con un grafico che ha la caratteristica di essere ciclico.

Il grafico si fonda sul fatto che nella valutazione di ciò che è reale rientrano i problemi di esistenza. L’esistenza matematica è diversa dall’esistenza fisica ed è anche diversa dall’esistenza assegnabile alle nostre percezioni mentali. Vi è tuttavia una profonda e misteriosa connessione tra queste tre forme d’esistenza, questi tre Mondi.

Ecco il grafico

Penrose alla fine del libro, riprende il grafico e lo ripropone in una forma “abbellita”. Ed ecco la sua forma finale:

Il grafico che raffigura i tre Mondi e i tre Misteri è abbellito con gli altri assoluti platonici della Bellezza e della Moralità, in aggiunta alla Verità assoluta che deve essere trovata nella matematica. “La Bellezza e la Verità sono intrecciate, poiché la bellezza di una teoria fisica agisce come guida alla sua correttezza in relazione al Mondo Fisico, mentre l’intera questione della Moralità è in definitiva dipendente dal Mondo della Mentalità”.

Senza ombra di dubbio la strada che porta alla realtà è la matematica.

La strada, Penrose l’ha lastricata con i pezzi della matematica. Il materiale di costruzione l’ha attinto dunque dalla miniera della matematica e, fatto rilevante, l’ha disposto in modo ordinato. Alcuni pezzi prima, altri dopo e dopo, altri ancora.

Un ordine nuovo, non comune nelle sistemazioni della matematica.

Un ordine teleonomico. Risponde al preciso progetto di rendere possibile la comprensione della fisica moderna.  Un ordine che, motivato dalla finalità, conferisce al libro un particolare valore nella gestione del sapere matematico e della sua organizzazione didattica. Un valore d’integrazione dei diversi saperi come solo una mente che li possiede in sé, già integrati, poteva fare.

La strada matematica costruita da Penrose muove dai suoi ricordi di alunno undicenne che si chiede “Che cos’è una frazione?”.

E comprende finalmente che la risposta è nella considerazione delle classi d’equivalenza. Nella considerazione delle infinite coppie che esprimono tutte lo stesso rapporto. E prosegue con Pitagora che è la prima delle pietre miliari. Seguono: Euclide e i suoi postulati, la geometria iperbolica e le relazioni con lo spazio fisico. I numeri reali nel mondo fisico e il discreto-continuo. La magia dei numeri complessi e la risoluzione delle equazioni. La convergenza delle serie di potenze. La geometria dell’algebra complessa, l’idea di logaritmo complesso, le potenze complesse e le relazioni con la fisica delle particelle. Il calcolo infinitesimale nel campo reale e nel campo complesso. La “liscezza” complessa e il prolungamento analitico delle funzioni. Le superfici di Riemann e la sfera di Riemann. Le serie di Fourier. La frequenza, le iperfunzioni e le dimensioni complesse. I campi vettoriali e le equazioni di Cauchy – Riemann. L’algebra dei quaternioni, il ruolo fisico, le algebre di Clifford e di Grassmann. I tensori, le varietà a n dimensioni, i gruppi di simmetria. Il calcolo infinitesimale sulle varietà, i fibrati, le motivazioni fisiche, l’idea matematica di fibrato. Gli spazi proiettivi. La scala dell’infinito e le grandezze di infinito in fisica.

Sono i primi 16 capitoli.

Sono interamente dedicati alla matematica. C’è molto della preparazione dei nostri laureati in matematica.  Un libro dunque che dovrebbe essere studiato sia da coloro che si dedicano alla ricerca sia dai futuri docenti di matematica e fisica.

Un fatto importante:

la via matematica tracciata da Penrose ha nell’infinito un disegno evidente, privilegiato e continuo, presente fin dall’inizio. Contrariamente a quello che è sempre avvenuto nell’insegnamento della matematica ove le questioni concernenti l’infinito sono state sempre tagliate come pericolose, qui il discorso dell’infinito si sviluppa lungo l’intero percorso, dalle iniziali classi d’equivalenza, agli spazi, alle serie, alla scala dell’infinito.

Se l’organizzazione globale pensata da Penrose è interessante per la novità dell’inferenza logica assegnata ai diversi capitoli della matematica, non meno interesse suscitano gli accostamenti interni, le analogie e le descrizioni non formali di molte delle parti matematiche così come egli le tratta.

Valga l’esempio della geometra iperbolica.

È logicamente conseguente alla discussione sul postulato delle parallele e originata dalla domanda: il teorema di Pitagora continua a valere se cade il postulato delle parallele? Ed è presentata con il supporto visivo delle xilografie di M. C. Escher. Ancora stimoli didattici offrono i punti di vista sulle serie di potenze, legate allo sviluppo dell’algebra e all’inestimabile ruolo dei numeri complessi. Sulle serie di potenze già si è avuto modo di riportare, a mo’ di passo antologico, un’osservazione di Penrose molto istruttiva. Si trova in Tracce per fare matematica: la somma degli inversi dei quadrati [VEDI].

Gli esempi e le citazioni di passi dal testo di Penrose che hanno un carattere di novità sono tanti. Al lettore interessato alla didattica della matematica non sfuggiranno certo.  Un passo però conviene riportarlo per la sintesi che opera degli obiettivi e dei contenuti di uno dei capitoli che è divenuto oramai centrale nell’insegnamento secondario:

Il calcolo infinitesimale – o, per dargli un nome più sofisticato, l’analisi matematica – è costituito da due ingredienti fondamentali: la derivazione e l’integrazione. La derivazione si occupa di velocità e accelerazione, di coefficienti angolari e curvature di curve e superfici e cose simili, ossia tassi di cambiamento e grandezze definite localmente, in termini della struttura o del comportamento dei più piccoli intorni di singoli punti. L’integrazione si occupa invece di aree e volumi, di centri di gravità e di molte altre cose di questo genere che implicano misure di globalità, in una forma o in un’altra, e non sono definite semplicemente da ciò che avviene nell’intorno locale o infinitesimale di singoli punti. Il fatto notevole, chiamato teorema fondamentale del calcolo infinitesimale, è che ciascuno di questi due ingredienti è sostanzialmente l’inverso dell’altro.

Infine un cenno è d’obbligo farlo ad uno dei paragrafi conclusivi del libro.

Penrose prende spunto da uno studio di Carlo Rovelli sul numero di articoli pubblicati sul tema della gravità quantistica nel corso di un intero anno. L’analisi compiuta da Rovelli rivelava un numero di articoli decisamente irrisorio rispetto agli articoli aventi come soggetto la teoria delle stringhe. Uno studio che in sostanza ha messo in evidenza il ruolo della moda nel panorama delle teorie della fisica. E nella matematica? In effetti non pare che esista un analogo studio compiuto per la matematica anche se nel corso del 2020 sembra che il maggior numero di articoli abbiano riguardato il tema dell’infinito e le questioni delle previsioni in connessione all’andamento della pandemia da Covid.

I 34 capitoli non esauriscono il libro.

A concluderlo ci sono: l’Epilogo, i Ringraziamenti, la Bibliografia, l’Indice Analitico. A precederli: la Prefazione, le Notazioni, il Prologo. È alla prefazione che appartiene il ricordo delle frazioni, al Prologo le storie di Am-tep e di Amphos due grandi artigiani del passato e studiosi della realtà. E il secondo diviene seguace di Pitagora!

Ecco, in sintesi, la storia di Amphos.

Amphos era un artigiano provetto. Studioso della realtà che lo circondava. In una notte limpida, Amphos guardò il cielo e tentò di capire, dalla disposizione delle stelle, le figure di quegli eroi e di quelle eroine che formavano le costellazioni nel cielo. Ai suoi occhi di umile artista quelle figure erano ben poco rassomiglianti. Egli stesso avrebbe saputo disporre le stelle in modo molto più convincente. Sconcertato si chiese: perché gli Dei non hanno disposto le stelle in modo più appropriato? Le disposizioni, così com’erano, sembravano più semi sparsi, gettati a caso da un contadino, che il deliberato disegno di un Dio. Allora fu pervaso da un pensiero bizzarro: Non tentare di trovare ragioni nelle specifiche disposizioni delle stelle o di altre sistemazioni sparpagliate di oggetti; tenta, invece di trovare un ordine universale più profondo nel modo in cui le cose si comportano.

Amphos riflettè e si convinse che, senza precisione nelle leggi fondamentali, non vi sarebbe alcun ordine nel mondo, mentre si percepisce molto ordine nel modo con cui le cose si comportano. Amphos venne poi a sapere di un saggio che viveva in un’altra parte del paese, le cui convinzioni sembravano essere in accordo con la propria. Secondo questo saggio, non si poteva fare affidamento sugli insegnamenti e le tradizioni del passato. Per essere certi delle proprie convinzioni, era necessario ricavare conclusioni precise con l’impiego di ragionamenti incontestabili. La natura di questa precisione doveva essere matematica – sostanzialmente dipendente dalla nozione di numero e dalla sua applicazione a forme geometriche. Devono essere numero e geometria, non mito e superstizione, a governare il comportamento del mondo. Amphos s’imbarcò. Trovò la strada fino alla città di Crotone, dove il saggio e la sua comunità di 571 uomini sagge e di 28 donne sagge studiavano in cerca di verità. Dopo qualche tempo Amphos fu accettato nella comunità. Il nome di quel saggio era Pitagora.

Da lui, da Pitagora, parte il viaggio di Penrose sulla strada matematica che porta alla realtà.

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