La valutazione della prova scritta di Matematica di Antonino Giambò

Gli indicatori

Esistono varie modalità idonee a valutare la prova scritta di matematica agli esami di Stato con una procedura non solo equilibrata, ma coerente con la normativa che regola l’esame.
Qui ne illustro una, senza la pretesa che sia la migliore. Certamente è quella che ha seguito la stragrande maggioranza delle commissioni che hanno operato in scuole della regione Marche negli ultimi esami (anni 1999 e 2000) e con esiti confortanti.
La normativa sugli esami, letta nel suo complesso, prevede sostanzialmente tre momenti a proposito della valutazione delle prove: uno, di “misurare” la prestazione del candidato in rapporto a vari elementi osservati (“indicatori”), alcuni dei quali espressamente stabiliti dalla normativa; due, di giudicare se la sua prestazione complessiva è sufficiente sulla base di un criterio prestabilito dalla Commissione; tre, di assegnare alla sua prova un punteggio rispondente a tale prestazione secondo modalità precisate dalla normativa.
Ora gli elementi da tenere sotto osservazione nella prova scritta di matematica sono almeno tre e coincidono di fatto con le finalità della prova:

1)   conoscenze specifiche;
2)   competenze nell’applicare le procedure e i concetti acquisiti;
3)   capacità logiche e argomentative.

A questi se ne possono aggiungere due altri in grado di fornire ulteriori elementi utili ad una valutazione equilibrata, cioè idonea a differenziare il candidato che risolve tutto ciò che gli è richiesto da quello che risolve solo una parte e il candidato che risolve ed espone con correttezza da quello che commette errori. Tali elementi possono essere i seguenti:

4)   completezza della risoluzione;
5)  correttezza della risoluzione e dell’esposizione.

Il punteggio grezzo

A questo punto occorre chiedersi se tutti gli elementi presi in considerazione hanno la stessa importanza o no e comportarsi di conseguenza. Per esempio si può differenziare il ruolo dei vari “indicatori” attribuendo preventivamente ad essi dei “pesi”, cioè dei coefficienti numerici di cui non interessa il valore intrinseco ma solo il rapporto degli uni rispetto agli altri.
Quindi è necessario prefissare una scala di misurazione delle abilità mostrate dal candidato in ordine ai vari indicatori considerati. Questa può essere, per esempio, la scala dei valori da 0 a 5, secondo le seguenti specificazioni:

0 = prestazione assolutamente nulla (situazione eccezionale);
1 = prestazione gravemente insufficiente ;
2 = prestazione insufficiente ;
3 = prestazione sufficiente ;
4 = prestazione discreta (o buona tendente a discreta) ;
5 = prestazione ottima (o buona tendente a ottima).

A correzione avvenuta, al candidato è assegnato il punteggio (“punteggio grezzo”) che scaturisce moltiplicando le attribuzioni parziali per i rispettivi pesi e sommando i prodotti ottenuti. Il minimo punteggio grezzo che un candidato può ottenere è evidentemente 0 (attribuzioni parziali tutte uguali a 0: si capisce che si tratta di una situazione veramente eccezionale); invece il punteggio grezzo massimo è quello che si ottiene moltiplicando per 5 la somma dei pesi prefissati per i vari indicatori (attribuzioni parziali tutte uguali a 5).

I descrittori

Naturalmente, per ciascun indicatore, bisogna precisare quali sono i “descrittori” sui quali il valutatore basa i suoi elementi di giudizio e quindi il punteggio parziale che attribuisce al candidato relativamente all’indicatore considerato.
La seguente tabella fornisce alcune indicazioni in proposito, senza la pretesa che sia prescrittiva, anzi i consigli di classe e, sulla base delle loro indicazioni, le commissioni d’esame possono integrare ed eventualmente correggere la tabella.

La griglia

Tutto quanto detto sopra può essere sintetizzato in una griglia, di cui si riporta uno stralcio nella speranza di essere più esplicativi. La griglia evidenzia anche la percentuale di punteggio grezzo, rispetto a quello massimo conseguibile, ottenuta da ciascun candidato.

Griglia per la VALUTAZIONE della prova scritta di matematica

(Esempio)

INDICATORI	Ind 1 Conoscenza specifica della disciplina	Ind 2 Competenza nella applicazione di concetti e procedure matematiche	Ind 3 Capacità logiche e argomentative	Ind 4 Completezza della risoluzione	Ind 5 Correttezza dello svolgimento e della esposizione	punteggio grezzo MAX = 5=245
pesi CANDIDATI	P1=12	P2=9	P3=7	P4=10	P5=11	ASSOLUTO	PERCENTUALE
Candidato 1	3	3	3	3	3	147	0.60
Candidato 2	5	5	5	4	5	235	0.95
Candidato 3	4	3	2	3	2	141	0.58
Candidato 4	2	1	1	2	2	83	0.33
Candidato M	M1	M2	M3	M4	M5		/ MAX

Attenzione
I “pesi” scelti, così come le attribuzioni parziali ai diversi candidati, sono pure finzioni e non svolgono alcun ruolo (neanche orientativo), tranne quello di far capire meglio come funzioni il processo di valutazione esposto prima. Nella realtà la Commissione sceglierà i pesi in base alle indicazioni che emergeranno dal documento del Consiglio di classe e attribuirà i punteggi parziali in base alle prestazioni dei candidati.

La valutazione

Naturalmente prima della correzione la commissione deve aver stabilito un criterio per giudicare quando una prova è sufficiente. In genere questo criterio si esaurisce in una sterile dichiarazione di principio che poi di fatto è inapplicabile e talvolta finisce per generare contenzioso. Procedendo, invece, con le modalità spiegate, la commissione ha tutte le possibilità per definire un criterio chiaro e praticabile: per esempio la commissione può deliberare di ritenere una prova sufficiente se il candidato ha conseguito almeno il 50% del punteggio grezzo massimo conseguibile.
Questo significa che al candidato che ha conseguito tale punteggio la commissione non può assegnare meno di 10 punti.
Per esempio,  proseguendo con la situazione immaginata sopra,  supposto che la commissione abbia prefissato proprio al 50% una prestazione sufficiente, si può concludere che i candidati 1, 2 e 3  hanno fornito prove almeno sufficienti, mentre la prova del candidato 4 è stata insufficiente.
Rimangono da assegnare, a questo punto, i punteggi effettivi. Ciò è fatto, ovviamente, seguendo la procedura prescritta dalla normativa. In ogni caso i primi tre punteggi non possono essere inferiori a 10, mentre il 4° non può superare 9.
Faccio notare che una verbalizzazione che descriva puntualmente la procedura illustrata sopra, cui si accompagna in allegato la griglia, non richiede alcuna motivazione di giudizi poiché questi sono implicitamente contenuti nella griglia medesima.
Ribadisco, in ogni caso, che quelle qui esposte sono solo indicazioni su un possibile processo di valutazione della prova scritta di matematica, anche se, in verità, lo stesso processo può essere seguito per la valutazione delle altre prove scritte e pure per il colloquio. Esse comunque, lo ripeto, non sono vincolanti per nessuno.

Dal punteggio grezzo al punteggio-voto – 1

Per l’assegnazione del punteggio effettivo alle prove scritte e al colloquio la norma (precisamente l’O.M. sugli esami) prescrive la seguente procedura:
«Le operazioni di correzione delle prove scritte (ugualmente del colloquio) si concludono con la formulazione di una proposta di punteggio relativa alle prove di ciascun candidato. I punteggi sono attribuiti dall’intera commissione a maggioranza. Se sono proposti più di due punteggi e non sia stata raggiunta la maggioranza assoluta, la commissione vota su proposte del presidente a partire dal punteggio più alto proposto, a scendere. Ove su nessuna delle proposte si raggiunga la maggioranza, il presidente attribuisce al candidato il punteggio risultante dalla media aritmetica dei punti proposti e procede all’eventuale arrotondamento al numero intero più approssimato. Di tali operazioni è dato dettagliato e motivato conto nel verbale. …».
Se per ogni candidato venissero formulate più di due proposte di voto, la commissione sarebbe costretta a impiegare un tempo enorme per le operazioni di valutazione delle prove e in particolare per quelle di verbalizzazione.
Forse, al fine di avere un margine di sicurezza nell’assegnazione dei punteggi definitivi, almeno per la stragrande maggioranza dei candidati se non per tutti, può essere utile servirsi di una formula matematica che trasformi i punteggi grezzi in punteggi-voto. Anche se questi ultimi non possono essere acquisiti automaticamente, poiché la procedura va comunque rispettata, essi possono costituire proposte di punteggi che molto probabilmente la maggior parte dei componenti della commissione, se non tutti, finiscono per far propri, facendo risparmiare tempo ed energia, con enormi benefici per la pazienza e lo spirito di sopportazione di tutti.
Si tratta di stabilire quale possa essere una formula idonea allo scopo. Anche su quest’aspetto della faccenda non ci sono certezze e verità assolute, ma solo punti di vista accettabili o meno.

Dal punteggio grezzo al punteggio-voto – 2

Una modalità equilibrata e non penalizzante per i candidati, anzi molto rispettosa del loro lavoro, e nello stesso tempo capace di offrire garanzie di serietà è quella di utilizzare la seguente formula:

y = a x2 + b x + c

dove x è la percentuale di punteggio grezzo ottenuta dal candidato (rispetto al punteggio grezzo massimo ottenibile) ed y è naturalmente il punteggio effettivo. Con la condizione che la percentuale di punteggio grezzo cui corrisponde la sufficienza sia il 50 % , mentre alla percentuale del 49 % deve corrispondere un punto in meno della sufficienza. E inoltre allo 0% del punteggio grezzo corrisponde il punteggio-voto 1 e al 100% il punteggio-voto massimo.
Poiché il discorso vale non solo per la prova scritta di matematica o per le prove scritte in genere ma anche per il colloquio e anche per la valutazione degli alunni durante l’anno scolastico, faccio delle considerazioni che valgono in tutte le situazioni. Allora i valori dei coefficienti a, b, c nella formula precedente si ottengono imponendo che la parabola rappresentata dall’equazione passi per i punti:

(0, 1) ,     (P, S) ,     (1, M)

dove P è la percentuale cui corrisponde la sufficienza, S è la sufficienza, M è la valutazione massima. A conti fatti si trova:

a =  ,     b = ,     c = 1 .

Ora, affinché S (punteggio sufficiente) corrisponda al 50% del PG massimo ottenibile, ma al 49% corrisponda S-1, bisogna scegliere P in modo conveniente, secondo la seguente tabella:

Ebbene, sulla base delle precisazioni suddette, per ogni tipologia di valutazione a seconda delle circostanze (basi 10, 15, 35 o 100), si ha una specifica formula, facilmente ottenibile.
Per mezzo di queste formule si possono costruire apposite tabelle dei punteggi-voti che corrispondono a date percentuali di punteggio grezzo massimo conseguibile (tabella in base 15)

Tabella in base 15
di passaggio dal Punteggio Grezzo al Voto

Distribuzione dei voti nella base 15 rispetto alla percentuale x% di punteggio grezzo massimo conseguita:

e rappresentare graficamente la distribuzione dei punteggi

.
Più delle tabelle e dei grafici è efficace un software appositamente costruito, per esempio un foglio elettronico. In particolare, un software siffatto si può reperire nel sito internet dell’ITIS “Marconi” di Jesi : www.itis.jesi.an.it. Tale software utilizza il foglio elettronico che può essere richiamato cliccando qui.