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L’applicazione del teorema di L’Hôpital

Sulle strategie risolutive per il calcolo di un limite. Quand’è che non è corretto applicare il teorema di L’Hôpital.

Sia da calcolare:

\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x-senx}{x+senx}

Applicando il teorema di L’Hôpital si ha:

\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x-senx}{x+senx}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1-cosx}{1+cosx}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{senx}{-senx}=-1

Operando, invece, direttamente, si ottiene:

\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x-senx}{x+senx}=\frac{1-\frac{senx}{x}}{1+\frac{senx}{x}}=1

Dov’è l’errore?

Per dare una risposta, il giovane studente, al quale l’esercizio era stato posto, pensò subito di utilizzare il grafico della funzione f(x)=\frac{x-senx}{x+senx} ;  ovviamente per tale compito interrogò il computer che immediatamente diede:

I grafici del numeratore (verde), del denominatore (rosso) e della f(x) in blu

Dal grafico lo  studente dedusse che il limite dovesse essere 1 e non -1, essendo la f(x) non negativa. Dov’è allora l’errore? Nell’applicazione del teorema di L’Hôpital!  Non è applicabile, semplicemente perché non ricorrono le condizioni per farlo.

L’esercizio è molto noto. Fu anche posto nelle famose Questioni didattiche del Periodico di Matematiche e nel n.3/1928 si trova la seguente testimonianza:

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