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Le radici di un polinomio di terzo grado

La ricerca delle radici di un polinomio di terzo grado. Le formule di Viète-Girad che legano le radici ai coefficienti del polinomio.

François Viète (1540 – 1603)

Nell’insegnamento secondario non è richiesta la ricerca delle radici di un polinomio di 3° grado in forma generale: l’argomento non rientra nel curricolo degli studi. È possibile, tuttavia, proporre questa ricerca per particolari polinomi di 3° grado. È su uno di questi polinomi che fermiamo l’attenzione, per un’attività matematica – anche con la formula della didattica a distanza – non fine a se stessa, che offre spunti interessanti.

Esercizio.

È assegnato il seguente polinomio nell’indeterminata x:

x^{3}-(k+1)x^{2}+(1-k)x+(2k-1)

 

dove k è un parametro reale.

Dopo aver verificato che una sua radice è 1, risolvere le seguenti questioni, fornendo ampia ed esauriente spiegazione:

  1. Ci sono valori di k per i quali il trinomio ammette radici doppie?
  2. Esistono valori di k per i quali le radici sono tutte e tre reali?
  3. Esistono valori di k per i quali le tre radici sono positive?
  4. Dimostrare che esistono due valori di k (e due soltanto) per i quali le tre radici sono numeri interi e determinare sia tali valori di k sia le rispettive radici del polinomio.

Considerazioni a margine.

Attenzione alla domanda a) poiché può nascondere un’insidia. È probabile che, una volta fattorizzato il polinomio nella forma (x-1)·f(x), gli studenti si limitino a considerare le sole radici doppie che corrispondono ai valori di k che annullano il discriminante di f(x), tralasciando il valore di k per il quale f(1)=0. È opportuno farli riflettere senza anticipare la risposta.

Riguardo ai quesiti b) e c), è assai probabile che gli studenti trovino le due radici di f(x) in funzione di k, utilizzando la formula risolvente per le equazioni di 2° grado, e provino a ragionare su tali radici.

In questo modo riusciranno verosimilmente, magari con un po’ di fatica, a rispondere a quelle due domande, ma si bloccheranno sulla domanda d).

Poco male, anzi bene, perché è l’occasione per far comprendere che la via più indicata per risolvere le tre questioni, e soprattutto l’ultima, anche perché è la più economica, è di far ricorso alle formule di Viète-Girard.

  • Quali sono queste formule? Come si dimostrano?

Può essere anche l’occasione per approfondire e ampliare l’argomento. In particolare:

  • Vogliamo provare a trovare formule analoghe per un polinomio di 3° grado?

Non guasta qualche riferimento storico.

In particolare, al fine di spiegare perché le formule utilizzate si dicono “formule di Viète-Girad”: François Viète (1540-1603), uomo politico francese, matematico per diletto, trovò per primo alcune delle relazioni che legano i coefficienti e le radici di un polinomio di grado n, ma chi ne diede una chiara spiegazione fu qualche anno dopo il matematico francese Albert Girard (1595-1632).

Qualche suggerimento.

La via più indicata per la risposta alla domanda d) è la seguente.

Indicate con u, v le radici di f(x), si ha: u+v=k e uv=1–2k: Da qui, dopo alcune elaborazioni, segue: (u+2)(v+2)=5. Dovendo essere u, v interi ed essendo 5 un numero primo, sono possibili due soli casi: (u+2=1, v+2=5) e (u+2=–1, v+2=–5).

Si trova perciò: u=–1, v=3 con k=2; u=–3, v=–7 con k=–10.

Per quanto concerne invece la risposta all’ultima domanda, si tratta di generalizzare il ragionamento eseguito per un polinomio di 2° grado, vale a dire di mettere a confronto il polinomio  ax3+bx2+cx+d con il polinomio a(x-x1)(x-x2)(x-x3), naturalmente dopo aver sviluppato quest’ultimo e averlo ordinato secondo le potenze di x.

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