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Le regole per risolvere i problemi

I buoni libri per imparare le operazioni aritmetiche e le regole per risolvere i problemi della vita civile.

Per insegnare bene l’aritmetica ci vuole, come dirà anche il Leopardi, la viva voce del maestro e ci vogliono però anche i buoni libri. E qui la lamentela che non ce ne fossero per istruire bene sia gli studenti che i precettori è stata sempre viva.

Un esempio, non proprio antico, si trova nella premessa ad un manuale del 1820.

Vi si legge: «Avendo ascoltate le querele di molte persone intorno la scarsezza di buoni libri; dai quali potessero appararsi le regole pratiche dell’Aritmetica, cosa contanto necessaria alla vita civile, ho procurato per comodo e per bene del Pubblico, al quale sono inchinatissimo, che si pubblicassero colle stampe queste Nuove Istituzioni di Aritmetica pratica, sperando di potere per innanzi far cessare affatto le suddette querele».

Chi ha ascoltato le “querele” delle molte persone è il napoletano Stefano Elia.

Le Nuove Istituzioni di Aritmetica pratica che egli procura di pubblicare colle stampe sono quelle di Pietro Di Martino (1707-1746), matematico-astronomo dell’Università di Napoli, che le scrisse nel 1739. Quest’opera fu diffusissima tant’è che ancora oggi non è difficile trovarne copie presso i librai antiquari. Quella del 1820 è solo una delle tante ristampe; altre ce ne saranno ancora nel 1854 e nel 1862 a Torino, a segnare un’unità d’Italia da raggiungere anche sul piano dell’istruzione.

Fatto è che per almeno un secolo e mezzo quelle Nuove Istituzioni sono il libro di testo adottato da scuole pubbliche e collegi, religiosi e laici. Dettano il perché, il cosa e il come insegnare l’aritmetica che è soprattutto aritmetica pratica come sarà nei programmi d’insegnamento dell’Italia unita oltre le soglie del XX secolo. E anche gli altri manuali del periodo si rifanno a quest’opera del Di Martino e ne seguono il metodo e l’organizzazione della materia.

Se oggi ne parliamo non è solo per un ricordo storico.

Un ricordo che serve fra l’altro a mettere in luce i cambiamenti notevoli intervenuti nell’insegnamento dell’aritmetica. Ne parliamo anche perché rileggere quelle pagine che spiegano le operazioni aritmetiche e le regole per risolvere i problemi porta a considerazioni didattiche importanti. Ad esempio porta a riflettere su regole che sono scomparse e sul perché e come esse siano scomparse; sostituite con che cosa. E non è che non si risolvano più problemi, anzi risolvere problemi è tuttora, si direbbe, fondamento e coronamento dell’insegnamento matematico a tutti i livelli. Ma rileggere quelle pagine induce anche a  riflettere sul linguaggio e sulle espressioni verbali, su un insegnamento condotto molto più con le parole che con i simboli che sono propri dell’algebra.

Riprendere in un’attività di classe un problema aritmetico di queste Nuove Istituzioni, leggerne e comprendere la soluzione e risolverlo diversamente, eventualmente con l’algebra, può rivelarsi didatticamente proficuo per docenti e studenti delle scuole secondarie.

Il libro comincia così:

«Aritmetica è quell’arte, la quale insegna a maneggiare i numeri; il qual maneggio consiste principalmente in quattro operazioni, che sono: il Sommare, il Sottrarre, il Moltiplicare ed il Partire».

L’insegnamento vi è portato avanti come il catechismo: da “cos’è l’Aritmetica?” a “cos’è il numero”? E poi “l’addizione” e via dicendo, dando definizioni e stimolando alla ripetizione mnemonica. Solo a conclusione si passa alle applicazioni, ovvero all’uso delle operazioni per risolvere problemi della vita pratica.

Quindi spiegate le 4 operazioni con numeri interi e decimali, si passa «a dimostrar l’uso, che si può fare di esse, nello scioglimento di varie utili, e curiose quistioni. E per procedere con ordine gioverà ridurre le quistioni, intorno le quali dovrem ragionare, a quattro Capi generali. Il primo Capo abbraccerà le quistioni, che si sciolgono colla regola del Tre. Il secondo Capo comprenderà le quistioni, che si risolvono colla regola del Falso. Il terzo Capo conterrà le quistioni, che si risolvono colla regola della Società. E finalmente l’ultimo Capo abbraccerà le quistioni, le quali si risolvono colla regola dell’Allegazione».

La regola del Tre “dividesi in quattro specie diverse” che sono semplice diretta, semplice inversa, composta diretta, composta inversa. Le regole del Falso sono due: semplice e doppia. «La semplice regola del Falso è quella, in cui basta fingere un solo numero per iscoprire il vero; la doppia è quella, nella quale fa duopo fingere due numeri falsi per giungere allo scoprimento del numero vero».

Valgano i due esempi dell’una e dell’altra:

«Tre muli portano 8 tomola d’orzo, ma non ne portano l’istessa quantità. Il primo non si sa quanto ne porta; il secondo si sa che porta cinque volte più di quello che porta il primo. Ed il terzo si sa che porta due volte più di quello che porta il secondo: si dimanda quanto porta ciascuno separatamente».

Alla formulazione segue la soluzione:

«Fingiamo che il primo porti 1 tomolo solo di orzo; il secondo dunque ne deve portare 5 ed il terzo 10; e per conseguente tutti tre porteranno 16 tomola; ma si è supposto che tutti tre portano solamente 8 tomola: dunque è falso che il primo ne porta uno».

Come risolvere correttamente?

«Per ritrovare ora quanto veramente porti il primo, si deve istituire questa regola del Tre semplice diretta. Se 16 tomoli sono usciti dalla posizione falsa 1; 8 tomola da qual posizione usciranno? E si troverà che usciranno dalla posizione ½ […] onde si concluderà, che il primo mulo porta mezzo tomolo; il secondo porta due tomola e mezzo ed il terzo cinque; resta vero che tutti tre ne portano 8: ciocchè mostra non essersi errato nell’operazione».

La regola doppia del Falso. Esempio:

«Tre uomini hanno 38 anni con questa condizione, che il secondo ha due volte l’età del primo, la quale è ignota, con due anni di più; ed il terzo ha l’età del primo e del secondo con quattro anni di più.

Se si tenta di risolvere colla regola del Falso semplice questa quistione si troveranno numeri tali che non adempiscono alle condizioni prescritte».

Ecco allora l’applicazione del Falso doppio

«Fingasi che il primo abbia 1 anni; il secondo ne avrà 4 ed il terzo ne avrà 9; e per conseguente tutti tre insieme ne avranno 14. Ma tutti e tre ne dovevano avere 38: dunque si è errato di 24, il quale errore è di meno […] Fingasi poi che il primo abbia 2 anni; il secondo avrà 6 anni; ed il terzo ne avrà 12; e tutti e tre 20: ma tutti tre doveano avere 38, dunque si è errato di 18 il quale errore ancora è di meno….li due errori dunque sono 24 e 18 e sono entrambi di meno. Fatto questo si moltiplicheranno li due errori per le due posizioni vicendevolmente, vale a dire il primo errore 24 per la seconda posizione 2, ed il secondo errore 18 per la prima posizione 1, e si avranno li prodotti 48 e 18 delli quali si prenderà la differenza 30. Finalmente si dividerà questa differenza 30 per la differenza degli errori, la quale è 6, e si avrà il quoziente 5, che sono gli anni del primo. Il primo dunque avrà 5 anni, il secondo 12 ed il terzo 21, e resta vero che tutti tre abbiano 38 anni».

Della regola della Società: semplice e composta.

«Con questa regola, che si chiama della Società, sogliono i mercatanti dividersi proporzionalmente il guadagno, ovvero la perdita, che si è fatta in comune. Per esempio due mercatanti hanno negoziato insieme. Ed uno di essi ha impiegati nel negozio 135 ducati e l’altro ci ha impiegati 248 ducati: fingendo dunque che abbiano o guadagnati o perduti 68 ducati, si dimanda quanto toccherà a ciascuno di guadagno o di perdita?»

Questo problema si risolve con la regola della Società semplice che differisce da quella composta che si applica quando nel problema proposto è interessato anche il tempo, cioè la durata delle operazioni.

Esempio:

«Tre persone hanno negaziato insieme, e non solo hanno impiegate nel negozio diverse somme di denaro, ma ancora i tempi, ne’ quali essi sono entrati a parte nel negozio, sono disuguali; vale a dire il primo ha messi 18 ducati per lo spazio di 3 mesi, il secondo ha messi 54 ducati per lo spazio di 6 mesi; ed il terzo 108 ducati per lo spazio di 9 mesi; col qual danaro hanno guadagnati 375 ducati; si dimanda quanto toccherà di guadagno a ciascuno?

Per risolvere questa quistione fa duopo moltiplicare ciascuna somma di denaro per lo suo tempo corrispondente; vale a dire prima 18 per 3; poi 54 per 6; e finalmente 108 per 9; e si avranno li prodotti 54, 324, e 972. Fatto questo la regola di Società composta sarà ridotta a Società semplice. Imperciochè si dovrà vedere quanto tocchi di guadagno al primo, che ha posti 54 ducati; quanto al secondo, il quale ha posti 324 ducati; e quanto al terzo, il quale ha posti 972 ducati.

Si sommeranno dunque li tre numeri 54, 324 e 972 e la somma sarà 1330. Poi si istituiranno queste tre regole del Tre. Se con 1330 ducati si sono guadagnati 375 ducati; quanto si guadagnerà con 54 ducati? Poi, se con 1330 ducati si sono guadagnati 375 ducati; quanto si guadagnerà con 324 ducati? E finalmente, se con 1330 ducati si sono guadagnati 375 ducati; quanto si guadagnerà con 972 ducati?»

E si troverà che il guadagno è rispettivamente di 15, 90 e 270.

Della Regola dell’Allegazione che è anch’essa semplice e composta

«Questa regola ha luogo nella risoluzione delle questioni di questa sorte:

  1. Una libbra di pepe costa 2 carlini, ed una libbra di cannella costa 14 carlini. Se dunque si vuole avere una libbra parte di pepe, e parte di cannella con 11 carlini, si dimanda quanto toccherà di pepe e quanto di cannella?
  2. Una libbra di argento perfetto costa 14 ducati, ed una libbra di argento meno perfetto costa 9 ducati. Se dunque con 11 ducati si vuole una libbra dell’una e dell’altra sorta di argento, si cerca quanto toccherà della prima sorta e quanto dell’altra sorta?
  3. Un barile di moscadello costa 32 carlini ed un barile di greco costa 20 carlini. Se dunque si volesse con 27 carlini avere un barile di moscadello e di greco, si dimanda quanto toccherà di moscadello e quanto di greco?»

La soluzione della questiona 3.

«Per risolvere questa quistione fa duopo paragonare entrambi i prezzi 32 e 20 del moscadello e del greco col prezzo mezzo 27. A vedere quali siano le differenze di quelli da questo; le quali differenze si trovaranno 5 e 7 …poi si sommeranno insieme le due differenze 7 e 5, la somma delle quali è 12 e si comporranno dalle suddette differenze 7 e 5, e dalla loro somma 12, queste due frazioni 7/12 e 5/12 e si dirà che con 27 carlini si avranno sette duodecimi di un barile di moscadello, che sono 35 caraffe, cinque duodecimi di un barile di greco che sono 25 caraffe».

La regola dell’Allegazione composta ha luogo quando più di due prezzi si devono paragonare con un prezzo mezzo. Esempio:

«Un rotolo di mele costa 2 grana; un rotolo di uva costa 4 grana: un rotolo di pere costa 9 grana; e un rotolo di datteri costa 18 grana. Se dunque con 12 grana si vuol avere un rotolo di mele, di uva, di fichi, di pere, e di datteri, si dimanda quanto toccherà di ciascuna sorta de’ suddetti frutti?

Per risolvere questa quistione fa duopo paragonare a due a due li prezzi dati, che sono 2, 4, 6, 9, r 12 col pèrezzo mezzo 12 a vedere quali siano le differenze di quelli da questo. Nell’istituire però questo paragone fa duopo elegere quelle coppie di prezzi, l’uno de’ quali sia minore di 12 e l’altro sia maggiore dell’istesso 12, vale a dire del prezzo mezzo.

Laonde in questo esempio 2 e 4 non si possono paragonare con 12, né 2 e 6 , né 2 e 9, né 4 e 9, né 6 e 9; perciochè tutti questi prezzi sono minori di 12 e perciò si dovranno i prezzi 2, 4 e 9 combinare solamente col 18 per poterli paragonare col prezzo mezzo 12. E perché le differenze de’ prezzi 2 e 18 dal prezzo mezzo 12 sono 10 e 6 si scriveranno esse a lato de’ suddetti prezzi, ma vicendevolmente, cioè 10 a lato di 18, e 6 a lato di 2. E l’istesso si farà nel paragonare li prezzi 4 e 18 con 12, siccome si può vedere notato qui sotto.

Donde apparisce, che alli primi quattro prezzi corrisponde una sola differenza, la quale è 6 ma che all’ultimo ne gli corrispondono quattro, vale a dire 10, 8, 6 e 3, la somma delle quali è 27.

E perché la somma di tutte le differenze è 51, da questa somma, e dalle suddette differenze si comporranno cinque frazioni che avranno per numeratori li numeri 6, 6, 6, 6, e 27 rispettivamente e per denominatore comune 51 e si dirà che con 12 grana si avranno sei cinquantunesimi di un rotolo di mele, altrettanti di uva, altrettanti di fichi, altrettanti di pere, e finalmente si avranno ventisette cinquantunesimi di un rotolo di datteri che uniti insieme fanno un rotolo solo».

Risolto il problema l’Autore non tralascia poi di invitare alla verifica del risultato, controllando che soddisfi tutte le condizioni del problema e quindi provare che non si sono commessi errori. Nel qual caso consiglia di cominciare d’accapo.

Per concludere:

sono pagine ricche di storia, illuminanti su molteplici interrogativi che pervadono l’insegnamento della matematica. Esempio d’insegnamento dogmatico, mnemonico e meccanico, ma anche di legame con la realtà con problemi contestualizzati… eppoi le regole che portano a giustificare il giudizio di una matematica fatta di “ricette” di chi con esse era stato educato! Quelle descritte e applicate nel libro da dove saltano fuori? Scoprirlo, verificarne esattezza ed efficacia può essere un lavoro adatto al fare matematica in classe!

Autore

  • Laureato in matematica, docente e preside e, per quasi un quarto di secolo, ispettore ministeriale. Responsabile, per il settore della matematica e della fisica, della Struttura Tecnica del Ministero dell'Istruzione. Segretario, Vice-Presidente e Presidente Nazionale della Mathesis dal 1980 in poi e dal 2009 al 2019, direttore del Periodico di Matematiche.

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