Esistono infiniti numeri primi

Esistono infiniti numeri primi. Importanza e Dimostrazioni.

La dimostrazione che esistono infiniti numeri primi si trova un po’ dappertutto sui libri specialistici e su quelli divulgativi. Si può andare a leggere negli Elementi di Euclide ( IX, 20 ) come in altri autori. Euclide ne fu il primo sistematore se non enunciatore. I passi antologici che si propongono sono tratti da:

Euclide, Gli Elementi
G.Hardy, Apologia di un matematico
Jean Dieudonne’, L’Arte dei numeri

L’infinità dei numeri primi Euclide la enuncia così:

‘Esistono [sempre] numeri primi in numero maggiore di quanti numeri primi si voglia proporre [cioè la serie dei numeri primi è illimitata]’.

Nella traduzione di Fraiese-Maccioni degli Elementi si trova la seguente considerazione:

«Euclide non introduce direttamente l’infinità dei numeri primi. Si tratta soltanto dell’infinità intesa in senso potenziale: qualunque insieme di numeri primi ci piaccia fissare esiste sempre almeno un altro numero primo non compreso nell’insieme: cioè i numeri primi sono sempre di più di qualunque quantità prefissata di numeri primi.

La classica dimostrazione è la seguente.

Siano dati i numeri primi a,b,c. Dico che esiste almeno un quarto numero primo.

Per raggiungere lo scopo si moltiplicano tra loro i tre numeri dati e si aggiunge una unità: si ottiene così il numero: d = abc + 1.

Se d è primo è stata dimostrata l’esistenza di un quarto numero primo. Se d non è primo, esso ammette un divisore primo ( VII,31 ) : sia questo il numero h. Dico che h è diverso da a, b , c, e quindi che esso è il quarto numero primo del quale si voleva appunto dimostrare l’esistenza.

Se, infatti, il numero h fosse uguale ad uno dei tre numeri a, b, c, esso dividerebbe il prodotto abc. Ma s’è supposto che h divida anche d = abc +1, quindi h dividerebbe pure la differerenza tra (abc + 1) e abc, ossia l’unità: cosa assurda.»

G.Hardy, Apologia di una dimostrazione

Godfrey Harold Hardy (1877 – 1947)

La dimostrazione che esistono infiniti numeri primi è per G. Hardy, insieme alla irrazionalità di , tra le più belle dimostrazioni che si incontrano nella matematica.

Ecco come lo scrive Hardy:

«Enuncerò e dimostrerò due dei più famosi teoremi della matematica greca. Sono teoremi “semplici”, sia nell’idea che nell’esecuzione, tuttavia sono di primissimo ordine. Ciascuno di essi conserva la freschezza e l’importanza di quanto è stato scoperto: 2000 anni non vi hanno lasciato una ruga. Per di più enunciato e dimostrazione possono essere pienamente compresi in meno di un’ora da un lettore intelligente, per quanto scarso sia il suo bagaglio di cognizioni matematiche.

Il primo è la dimostrazione fatta da Euclide dell’esistenza di un numero infinito di numeri primi.

I numeri primi, o semplicemente, i primi, sono quei numeri (A) 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,… che non possono essere scomposti in prodotto di fattori minori. Per questo 37 e 317 sono numeri primi.

I numeri primi sono il materiale attraverso cui dalla moltiplicazione, si costruiscono tutti i numeri: per esempio si ha 666=2×3×3×37. Ogni numero che non è un numero primo è divisibile per almeno un numero primo (in genere, naturalmente, per molti). Dobbiamo dimostrare che esistono infiniti numeri primi e cioè che la successione (A) non termina mai.

Supponiamo invece che abbia fine e che 2,3,5,…,P rappresenti la successione completa dei numeri primi (per cui P risulta il massimo numero primo). Con questa ipotesi consideriamo il numero Q definito dalla formula Q = (2×3×5×…×P)+1. E’ evidente che Q non è divisibile per nessuno dei numeri 2, 3, 5,…,P, perché il resto della divisione per ognuno di questi numeri sarà sempre 1. Ma, se Q stesso non è un numero primo, esso è divisibile per qualche numero primo ( che può essere lo stesso numero Q) che supera tutti quelli della successione. Questo contraddice l’ipotesi che non esiste un numero primo maggiore di P, e perciò la nostra ipotesi è falsa.

Questa è una dimostrazione per reductio ad absurdum, e la reductio ad absurdum , tanto amata da Euclide, è una delle più belle armi del matematico. E’ un gambetto molto più raffinato di qualsiasi gambetto degli scacchi: un giocatore di scacchi può offrire in sacrificio un pedone o anche qualche altro pezzo, ma il matematico offre la partita.» (G.Hardy, Apologia di un matematico, Garzanti Editore)

Jean Dieudonné in L’Arte dei numeri (Mondadori Editore)

Dieudonné d’accordo con Hardy, definisce come il più bel teorema dell’aritmetica greca, il fatto che esistono infiniti numeri primi:

«La dimostrazione data da Euclide è molto semplice; ma io preferisco presentarne un’altra , dovuta a Eulero, perché ha aperto la strada a quella che oggi viene chiamata ‘la teoria analitica dei numeri primi’; è possibile presentarla comunque utilizzando l’algebra elementare. Si tratta di un ragionamento ‘per assurdo’, in cui si suppone che ( in ordine crescente ) siano i soli numeri primi e se ne trae una conclusione assurda. Ogni intero n si può decomporre nel prodotto in modo unico, ammettendo che alcuni degli esponenti possano essere nulli ( il fattore in tal caso diventa 1). Sia N un naturale arbitrariamente grande e consideriamo il prodotto

Per svolgere questo prodotto occorre prendere un termine in ogni parentesi, fare il prodotto di questi termini e poi fare la somma di tutti i prodotti parziali così ottenuti. Ora questi prodotti hanno la forma dove n è della forma ma con la restrizione che per tutti gli esponenti. Per l’unicità della scomposizione tutti questi prodotti sono distinti; ma l’osservazione essenziale è che tutti i numeri n compresi tra 1 e compaiono ( una sola volta per quello che abbiamo appena detto) in un prodotto parziale . In effetti se, nella scomposizione nessuno degli esponenti può risultare più grande di N-1, perché allora il numero n sarebbe uguale almeno a mentre lo si è supposto ; allora compare davvero come uno dei prodotti parziali nello sviluppo di Naturalmente ci sono in altri prodotti parziali, ma quello che si è dimostrato è che risulta

La somma a secondo membro non è facile da calcolare , ma la si può rimpiazzare con un numero minore nel seguente modo: si raggruppano i termini in somme parziali fermandosi alle potenze di

La prima parentesi contiene due termini che sono uguali almeno a 1/4, quindi essa è ³ 1/2. La seconda ha 4 termini almeno uguali a 1/8, quindi è ³ 4/8 =1/2. Continuando in questo modo si vede che ogni parentesi è ³ 1/2, perché ha termini e tutti risultano ³ 1/2. Essendo N-1 le parentesi , si ha infine