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Luoghi geometrici. Esempi e soluzioni per la maturità.

Le richieste di luoghi geometrici nella prova scritta degli esami di Stato. Esempi significativi di tracce già proposte.

Le tracce assegnate alla prova scritta di matematica degli esami di Stato hanno sempre costituito uno strumento  prezioso per la preparazione degli studenti e un utile riferimento per la progettazione didattica dei docenti. È lecito chiedersi se, quest’anno,  togliendo alla prova scritta il suo carattere nazionale si vanifichi anche il suo ruolo di orientamento didattico.

Può essere interessante, pertanto,  rivisitare alcuni testi di problemi  “di maturità”  più recenti o meno recenti, che possano comunque fornire esempi di traguardi da raggiungere, tipologie di formulazione, strategie risolutive o, più in generale, stimoli culturali.

Riprendendo l’analisi dei problemi  riguardanti i luoghi geometrici, ci soffermiamo su quattro tracce che ben si prestano per  confrontare le soluzioni di tipo analitico con quelle sintetiche e ragionare sulle costruzioni con riga e compasso, sfruttando eventualmente le potenzialità dei software di geometria dinamica

  1. Problema 1. Sessione ordinaria 1990-‘91
  2. Problema 2. Sessione ordinaria 1989-‘90
  3. Quesito 7. Sessione ordinaria PNI 2007
  4. Problema 2. Sessione ordinaria Ordinamento 2012

Le prime due tracce risalgono al periodo di transizione dal vecchio esame a quello della Riforma Berlinguer, le altre due al passaggio dal vecchio ordinamento ai nuovi Licei della Riforma Gelmini.

Può essere  importante ricordare lo scenario scolastico di trent’anni fa e di dieci o 15 anni fa.

Nell’anno 1989-1990  l’esame di Stato non aveva subito significative modifiche  rispetto alla Riforma-Sullo del 1969.

La  prova scritta era costituita da tre problemi, preceduti dalla nota: Fra le seguenti questioni il candidato tratti quelle che ritiene più adeguate alla sua preparazione. Tempo concesso: 5 ore.

Il ministro della Pubblica istruzione era Sergio Mattarella, il quale poi si sarebbe dimesso qualche mese più tardi, dopo l’approvazione, da parte del Parlamento, della legge Mammì (Disciplina del Sistema televisivo pubblico e privato).

A gennaio  era stata  aperta la Prima Conferenza Nazionale della Scuola voluta dal precedente ministro Galloni,  in cui si cominciava a parlare di Autonomia scolastica.

Il progetto di revisione dei programmi era portato  avanti dalle sperimentazioni.

Il Piano Nazionale Informatica era già in atto in molti istituti scolastici, il Progetto Brocca fu varato nel 1991.

Nelle prove d’esame si notano però alcuni spunti innovativi anche nelle tracce  assegnate ai corsi di ordinamento: i quesiti favoriscono approcci risolutivi diversi. Si parla di luoghi geometrici, di simmetrie  e traslazioni, si fa riferimento  ad applicazioni dell’Analisi alla Fisica.

Le prove del nuovo esame, grazie anche alla struttura articolata in problemi e quesiti, sono caratterizzati da maggiore versatilità e ricchezza dei contenuti.

Primo esempio

Soluzione

Il problema richiede essenzialmente conoscenze e competenze di Algebra (equazioni irrazionali, equazioni in cui compare un valore assoluto, calcoli con i radicali, regola di Ruffini) e Geometria Analitica (luogo geometrico, parabola e segmento parabolico, simmetrie).

Anche il calcolo dell’area può essere effettuato senza ricorrere ad un integrale ma semplicemente utilizzando il teorema di Archimede sull’area di un segmento parabolico.

La presenza significativa di contenuti affrontati negli anni precedenti va vista come una scelta a favore del candidato che, ricordiamo, deve  trattare “quelle più adeguate alla sua preparazione”.

Purtroppo, la realtà fu molto diversa.

Molti studenti furono ingannati dai  contenuti elementari del quesito e ne sottovalutarono alcuni aspetti:

  • la formulazione richiede una certa attenzione nella lettura del testo
  • le procedure da applicare richiedono abilità nei calcoli  ma anche spirito  critico

Un banale errore di impostazione, da parte di una nutrita maggioranza di candidati, precisamente l’omissione del valore assoluto da applicare alla variabile  nel calcolo del perimetro, procurò un certo allarmismo e una richiesta di verifica del  testo .

Ovviamente, individuato il luogo L come una parabola o un arco di parabola, le successive richieste, area racchiusa e presenza di otto punti di incontro con l’iperbole equilatera, apparivano sicuramente prive di significato.

Gli effetti di quanto accaduto in sede d’esame ebbero un riscontro negli elaborati di matematica della sessione di esame successiva: una fioritura  di  espressioni in valore assoluto, anche quando erano  palesemente positive!

I tre esempi seguenti si riferiscono al problema delle condizioni di tangenza tra curve, in particolare tra  retta e circonferenza  o tra due circonferenze.

Secondo esempio

Soluzione

Contenuti: Algebra- Geometria (approccio analitico o approccio sintetico)- Proprietà della parabola e dell’iperbole. Calcolo integrale.

Terzo esempio

Soluzione

La soluzione è molto semplice in quanto il luogo richiesto non è altro che la retta perpendicolare alla tangente alla parabola nel punto assegnato.

Un quesito banale? Non proprio: per una soluzione esauriente lo studente  deve aver  sistemato criticamente e logicamente  diversi obiettivi di apprendimento. Il procedimento risolutivo deve essere inoltre adeguatamente e sinteticamente  argomentato.

Dal punto di vista formativo offre molti spunti di approfondimento:

  1. Costruzione della retta tangente e della normale alla parabola come bisettrici dell’angolo di due rette uscenti dal punto P
  2. Riflessione sulle proprietà dei fasci di circonferenze, asse radicale, asse centrale, circonferenze degeneri
  3. Confronto col problema della maturità 1989-’90: in entrambi i casi si chiede il luogo geometrico dei centri delle circonferenze tangenti ad una data retta e passanti per un punto assegnato.

Nel caso in cui il punto non appartiene alla retta (come nel problema del ’90)  il luogo richiesto è una parabola avente il fuoco e la direttrice coincidenti, rispettivamente, col punto e con la retta assegnata. Che succede se il punto appartiene, invece, alla retta?

La parabola degenera in due rette coincidenti con l’asse di simmetria!

Quarto esempio

Soluzione

Contenuti: Geometria – Calcolo integrale. Volume di un solido calcolato col metodo delle “fette” e volume di un classico solido di rotazione intorno all’asse

Si parla di luoghi geometrici nel punto 4. Nella soluzione proposta  si affrontano anche delle considerazioni di natura geometrica   relative alla costruzione e della determinazione del luogo.
Il punto più interessante è comunque il passaggio dalla prima alla seconda richiesta in quanto  fornisce l’occasione di riflettere e approfondire  alcune strategie – chiave   per risolvere problemi di geometria  analitica: imporre condizioni, assegnare limitazioni alle variabili, discutere casi limite.
Nel primo caso non si hanno condizioni sufficienti  per determinare il centro e il raggio della circonferenza. Dalle due condizioni di tangenza si può determinare una relazione tra   che permette di esprimere  un parametro in funzione dell’altro e  scrivere l’equazione di una famiglia di circonferenze.
Nel secondo caso la circonferenza è univocamente determinata dalle  tre condizioni di tangenza e  dal fatto che  debba appartenete al primo quadrante. La terza condizione , sostanzialmente , permette di trovare il valore del parametro  e determinare , nella famiglia  di circonferenze,  quella richiesta dal testo.
Spesso questo metodo è adottato  per determinare l’equazione di una curva, qualora porti a calcoli e procedure più semplici rispetto all’approccio standard.

Se l’equazione dipende da  parametri, si devono imporre n condizioni indipendenti.

Scartando inizialmente  una condizione, nell’equazione  resta un parametro da determinare in seguito imponendo l’ulteriore condizione.
Il metodo è noto agli studenti liceali come «metodo dei fasci», per determinare l’equazione di una conica, utilizzando parametri di primo grado.

Non a caso questo quesito, che  pone  questioni  legate alla scelta di strategie risolutive ma anche alla formulazione dei problemi, è ispirato a un problema di George Polya, come è stato osservato in un precedente articolo di Matmedia.

Autore

  • Laureata in matematica, all'Università “La Sapienza” di Roma. Vincitrice di concorso a cattedra per la classe matematica e fisica, ha  insegnato a Roma nel liceo scientifico “Cavour” e ha collaborato con la S.S.I.S del Lazio in qualità di insegnante accogliente per i tirocinanti. In pensione dal 2009, ha partecipato al progetto del MIUR “La prova scritta di Matematica degli esami di Stato nei Licei Scientifici: contenuti e valutazione”. Collabora alle attività di formazione della Mathesis.

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