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Matematica in classe con un problema non di routine

Un problema non di routine per fare matematica in classe utilizzando anche il principio d’induzione.

Il seguente problema non rientra certamente nella categoria degli “esercizi di routine”. La sua risoluzione richiede un po’ d’immaginazione oltre alla capacità di saper utilizzare il principio d’induzione. La guida del docente è per questo indispensabile, a condizione che non anticipi affrettatamente la soluzione, ma, se possibile, ci faccia arrivare gli studenti con gradualità.

Il problema.

È assegnato il numero P(n) tale che:

P(n) = 5 2n+1 + 7 n+1 + 714

Al variare di n nell’insieme dei numeri naturali anche P(n) varia assumendo infiniti valori naturali: calcolare il loro massimo comune divisore.

Una guida per la risoluzione.

  • Provare a calcolare alcuni valori di P(n), per esempio i 3 valori più comodi e cioè: P(0), P(1) e P(2).

Si trova: P(0) = 726, P(1) = 888, P(2)=4182

  • Cos’ha a che fare questo con il problema? A quale conclusione conduce?

Conduce al fatto che MCD ( 726, 888, 4182) = 6.

È forse 6 il massimo comune divisore degli infiniti P(n)?

Assumiamo questa congettura e verifichiamo se è vera ricorrendo al principio d’induzione.

  • Come si applica questo principio nel caso in esame?

È probabile che gli studenti non siano in grado di fornire la risposta. Bisogna guidarli.

Ecco allora come si può procedere:

Stabilito che P(0) è divisibile per 6 (base dell’induzione), si tratta di provare che, se P(n) è divisibile per 6, anche P(n+1) lo è (passo induttivo).

Ammettiamo, allora, che P(n) = 5 2n+1 + 7 n+1 + 714 sia divisibile per 6 e proviamo che lo è anche P(n+1).

Si ha: P(n + 1) = 5 2(n+1)+1 + 7 (n+1)+1 + 714 = 5 2n+1· 25 + 7 n+1·7 + 714

  • Cosa comporta il fatto che 5 2n+1 + 7 n+1 + 714 sia divisibile per 6?

Comporta che esiste un numero naturale m tale che (), per cui si ha:

5 2n+1 = 6m – (7 n+1 + 714)

e pertanto, a conti fatti:

P(n + 1) = 6 · (25m – 3· 7 n+1 + 4·714 ).

  • Qual è la conclusione?

 

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