Matematica, pandemia, educazione civica

Educazione civica e matematica – pandemia e matematica:  due facce della stessa medaglia …

Buone pratiche per uscir fuori da quest’incubo il prima possibile, rispettando la Costituzione Italiana ed il suo Codice Civile.

Analizzando attentamente con i miei studenti gli articoli della Costituzione Italiana e del Codice Civile, ho sentito l’obbligo morale di discutere con loro di alcuni termini dei quali ormai i media fanno largo uso, per informarci sull’andamento della pandemia ancora in atto.

Da un dialogo informale con i miei studenti è emerso che non avevano ancora del tutto chiaro il concetto di virus. Ne riporto la definizione dopo gli articoli legislativi. Inoltre erano desiderosi di interiorizzare meglio concetti quali: crescita esponenziale, picco, indice R₀, indice R_t, curva logistica, modello SIR, etc.

Articolo 32  Costituzione:

“La Repubblica tutela la salute come fondamentale diritto dell’individuo e interesse della collettività, e garantisce cure gratuite agli indigenti. Nessuno può essere obbligato a un determinato trattamento sanitario se non per disposizione di legge. La legge non può in nessun caso violare i limiti imposti dal rispetto della persona umana”.
Viene dunque tutelato “l’individuo”, non il solo cittadino. Tutti siamo tutelati e dobbiamo tutelare tutti.

Art. 41 Costituzione:

“L’iniziativa economica privata è libera. Non può svolgersi in contrasto con l’utilità sociale o in modo da recare danno alla sicurezza, alla libertà, alla dignità umana …”

Art. 2087 Codice Civile:

“L’imprenditore è tenuto ad adottare nell’esercizio dell’impresa le misure che, secondo la particolarità del lavoro, l’esperienza e la tecnica, sono necessarie a tutelare l’integrità fisica e la personalità morale dei prestatori di lavoro”.

Definizione di Virus:

Il virus (dal latino vīrus, “veleno”) è un’entità biologica con caratteristiche di parassita obbligato, in quanto si replica esclusivamente all’interno delle cellule degli organismi. I virus possono infettare tutte le forme di vita, dagli animali alle piante e ai microrganismi (compresi altri agenti infettanti come i batteri) e anche altri virus.

Parafrasando, quindi, un testo di manzoniana memoria, I Promessi Sposi, mi è venuto in mente cosa avrebbe detto Don Abbondio, se fosse vissuto nel 2020, nel nostro mondo afflitto dalla pandemia:

“R!”, chi era costui? Ruminava tra sé don Abbondio seduto sul suo seggiolone […] tanto il pover uomo era lontano da prevedere che burrasca gli si addensasse sul capo!”.

(Ricordiamo che sia nel romanzo dei Promessi Sposi che nel saggio storico Storia della colonna infame Alessandro Manzoni aveva narrato della peste che colpì Milano nel 1630, e poi si diffuse in gran parte dell’Italia, portando morte e sofferenze nella popolazione).

Se fosse  protagonista in questa epidemia da Covid19 invece che in quella della peste manzoniana, forse don Abbondio non si chiederebbe  chi fosse Carneade,  bensì quale fosse il significato dell’indice R!

Questa sigla, un tempo riservata solo al mondo della medicina e degli infettivologi in particolare e dimenticata in qualche tomo universitario di Igiene, oggi invece  è ritornata alla ribalta riempiendo giornali, televisioni, dibattiti e decreti governativi. Sarebbe importante darne una spiegazione chiara e circonstanziata, soprattutto agli studenti che affollano il mondo scolastico, perché in realtà una spiegazione è stata data, ma non tutti  l’hanno afferrata.

Viene ritenuto da molti esperti di settore che fu l’epidemiologo George Mac Donald nel 1952 a proporre per primo questo indice in una epidemia di febbre malarica con l’articolo  Malaria in Britain, BMJ, vol.2, n.4775, 12 luglio 1952, pag 92 [Vedi] e per una sua storia si può leggere l’articolo di J.A.P Heesterbeek, A brief history of R0 and a recipe for its calculation, in Acta Biotheorica, vol. 50, n.3, 2002, pp 189-204 [Vedi ].

“R” viene considerato, in grammatica, come un cosiddetto prefisso verbale iterativo.

Dà significato di ripetizione ad un evento: ri-chiudere, ad esempio, significa chiudere nuovamente, ri-infettare significa infettare nuovamente; l’indice R è quindi un indice usato per misurare le capacità di ri-infettare di un agente patogeno.
Ma perché in alcuni grafici statistici lo troviamo con il pedice zero?, perché quindi R₀? Perché viene riferito ad una situazione riguardante il paziente zero, o per essere più precisi al tempo zero dell’epidemia, quando non si è ancora attuata alcuna misura di contenimento e di contrasto dell’infezione.

Se un soggetto infettato viene collocato in una generica collettività, maturerà la facoltà di infettare un numero variabile di persone durante il suo periodo di infettività.

Più alto sarà questo numero, più contagioso si dovrà considerare l’agente patogeno. Quindi questo indice viene calcolato come rapporto tra il numero di soggetti che sono stati contagiati e il numero di soggetti contagianti che hanno diffuso l’infezione.

Se l’indice vale 1, significa che ogni infetto arriva a contagiare solo un altro soggetto e quindi l’epidemia si riproduce, ma rimane costante come numero di soggetti. Se invece l’indice è >1 allora l’epidemia si svilupperà esponenzialmente, assumendo proprio l’R₀ come parametro fondamentale della funzione esponenziale: se invece è < 1 e continua ad esserlo. allora l’epidemia tende ad esaurirsi, e quanto  più l’indice sarà basso, tanto più velocemente l’epidemia si esaurirà. Infine, se l’indice diventasse addirittura pari a zero, allora vorrà dire che l’agente patogeno ha esaurito le sue capacità di infettare.

I nomi dati all’indice R₀ sono molteplici:

“numero di riproduzione di base”, “numero di riproduzione netto”, “tasso di riproduzione virale”, ecc., però tra tutte le definizioni precedenti appare inappropriata l’espressione “tasso”,  in quanto, nella sua formulazione originale, l’R₀ non misura l’infettività nell’unità di tempo, bensì il numero di soggetti che possono venire infettati da un solo individuo durante tutto il suo periodo di infezione.

Il valore dell’R₀ è stato stimato per diverse epidemie;  ad esempio, è stato calcolato un valore tra 0,9 e 2,1 nelle epidemie influenzali stagionali, tra 1,4 e 2,8 nell’influenza spagnola del 1918, tra 3 e 5 nel vaiolo, tra 10 e 12 nella parotite, tra 12 e 18 nel morbillo, ecc.

Ovviamente il valore di R₀ può dipendere da molti fattori.

Non solo dall’infettività propria dell’agente patogeno, ed è per questo che in questo ultimo periodo, durante l’epidemia di coronavirus, molti esperti e studiosi hanno preferito utilizzare l’espressione R_t, cioè l’indice di riproduzione al tempo t, dipendente quindi dalle misure di contenimento adottate,  e spesso, a differenza dell’R₀, l’R_t viene utilizzato proprio come tasso di riproduzione, cioè come numero di soggetti contagiati da un soggetto infetto nell’unità di tempo.

Per calcolare in modo corretto l’R₀ si dovrebbe quindi tener conto di tutto il periodo in cui un infetto rimane contagioso o per lo meno dal momento dell’esordio della sintomatologia, informazione che spesso non è disponibile in quanto si conosce per lo più solo la data della sua notifica di positività all’autorità sanitaria. I metodi di calcolo matematico seguiti sono poi abbastanza diversi, anche se per lo più i risultati sono convergenti.

In precedenza abbiamo parlato di CRESCITA esponenziale per la diffusione degli agenti patogeni, ma perché proprio la funzione esponenziale e non per esempio la funzione lineare?

Ogni processo di accrescimento può essere lineare o esponenziale. Si dice che una grandezza cresce linearmente quando ad intervalli di tempo uguali corrispondono incrementi uguali: così, ad esempio, è lineare l’andamento dei risparmi di un bambino a cui la mamma inizialmente mette da parte 1000 euro e poi ogni anno aggiunge 100 euro: dopo un anno il bambino si troverà con 1100 euro di risparmi, dopo due anni con 1200 euro, dopo tre anni con 1300 euro e così via.

Si dice invece che una grandezza cresce esponenzialmente allorché ad intervalli di tempo uguali corrispondono incrementi pari ad una frazione costante del totale.

Se un’altra mamma, invece che mettere ogni anno 100 euro nel salvadanaio del figlio, ne avesse messo mille in banca al tasso di interesse ad esempio del 7% annuo, alla fine dell’anno il bambino avrebbe avuto 1000 euro + 70 euro.

L’anno successivo, l’interesse del 7% verrebbe calcolato su 1.070 euro e produrrebbe altri 75 euro circa di interesse che si andrebbero ad aggiungere alla somma già posseduta.

L’anno ancora successivo l’interesse verrebbe quindi calcolato su una cifra nuovamente più alta.

Ora è facile comprendere che quanto maggiore è la somma depositata sul conto, tanto più denaro verrà aggiunto ogni anno come interesse. Ma quanto più se ne aggiunge, tanto più ve ne sarà nel conto l’anno successivo e quindi ancora più se ne aggiungerà come interesse. La caratteristica delle crescite esponenziali è proprio questa: più  grande è la quantità di cui si dispone, più essa si accresce. Se la quantità è piccola aumenta poco, se è media aumenta moderatamente, se è grande aumenta molto.

I processi di crescita esponenziale sono assai comuni in campo finanziario, in biologia, in medicina e in tanti altri settori del sapere, dove a volte possono produrre conseguenze sorprendenti.

Ritornando ad R₀, quindi, possiamo definirlo come un dato statistico fondamentale da analizzare all’inizio di una epidemia, poiché consente di conoscere la velocità di diffusione del virus e consente di sviluppare il modello epidemiologico più adatto.

All’inizio della pandemia, in Italia, si è stimato un R₀ pari a 2 che ha comportato una crescita esponenziale degli infetti, secondo il seguente modello: