Miss Marple e i tredici problemi

Miss Marple e i tredici problemi di matematica di vario genere che vengono presentati e (alcuni) risolti con l’aiuto del buon senso.

                                                                                  “Nil Sapientiae odiosius acumine nimio”.
                                                                                  LUCIO ANNEO SENECA (4 a.C. circa – 65 d.C.)

Miss Marple al cinema

I tredici problemi (5 risolti e 8 proposti ai lettori) che sono qui presentati, per la loro varietà e per le soluzioni prospettate, offrono tutti degli aspetti interessanti. Ci si chiederà cosa c’entri “la bella vecchietta alta e sottile, con i capelli candidi, le guance rosee e gli occhi azzurri dallo sguardo spesso malizioso, che risolve i casi più complicati di ricatto, furto, omicidio con la stessa apparente naturalezza con cui sferruzza a maglia, pota una siepe del suo giardino, sorseggia una buona tazza di tè”.

Ebbene, Miss Jane Marple, il noto personaggio creato da Agatha Christie, serve a ricordare che per risolvere un caso (o un problema) spesso non occorre dispiegare dei mezzi imponenti, né far uso di sottigliezze eccessive (acumine nimio): basta attenersi ai fatti (o ai dati), ricercando, anche con l’aiuto del buon senso, la soluzione più semplice che tenga conto di tutto.

Chiarito ciò, mettiamoci al lavoro, e … buon divertimento!

Per i più curiosi: la citazione di Seneca è l’epigrafe di un racconto di Edgar Allan Poe, La lettera rubata, che fa parte della trilogia di cui è protagonista il “ragionatore analitico” per eccellenza, il cavalier C. Auguste Dupin.

Problemi risolti.

1. Destinazione Polo.

“Un pilota vola 100 km verso sud, poi 100 km verso est, poi 100 km verso nord, e si ritrova esattamente al punto di partenza. Da dove era partito?”
La risposta classica a questo vecchio indovinello è: era partito dal Polo Nord.
Ma questo non è l’unico punto di partenza che soddisfa le condizioni date! E in realtà non esiste un solo punto, ma un’infinità di punti. [Soluzione]

2. Il foro nella sfera

È un problema incredibile, perché sembra che non ci siano dati sufficienti per trovare una soluzione.

“È stato praticato un foro cilindrico lungo 6 cm che passa proprio per il centro di una sfera solida. Qual è il volume rimanente della sfera?” [Soluzione senza ricorrere all’analisi matematica].

3. I quattro gattini

“Due gatti siamesi si sono accoppiati ed ora aspettano quattro gattini: il sig. Gatto vorrebbe pronosticare quanti siano i maschi e quante le femmine”.

Egli fa questo ragionamento: è improbabile che siano tutti e quattro maschi o tutte femmine; poiché per ogni gattino ci sono 50 probabilità su 100 che sia o maschio o femmina, la cosa più probabile è che ci siano due maschi e due femmine. È corretto il ragionamento del sig. Gatto? Proviamo a verificare la sua teoria. [Soluzione]

4. Il numero di matricola della recluta

“Il capitano domanda ad una recluta quale sia il suo numero di matricola; quello, per metterlo in difficoltà, risponde che il suo numero è uguale alla semisomma dei numeri formati con le disposizioni semplici delle sue tre cifre, due a due. Qual è il numero di matricola della recluta?” [Soluzione]

5. Il massimo profitto di un club sportivo

“La direzione di un club sportivo prevede l’iscrizione di 60 soci, sempre che la quota per persona sia di 50 euro al mese. Ogni ulteriore aumento pari a 5 euro di questa tariffa, porterebbe 4 dei potenziali 60 membri a rinunciare alla propria adesione. Il costo sostenuto dal club per ogni socio è dell’ordine di 35 euro al mese. Quale quota mensile di iscrizione procurerebbe al club il massimo profitto e quale sarebbe in tal caso il numero dei soci?” [Soluzione]

Problemi proposti

6. La piscina circolare

Antonio e Carlo sono seduti sul bordo di una piscina circolare, in due punti diametralmente opposti. La profondità dell’acqua è 1,80 m. Quando Manuela sopraggiunge e si siede sul bordo, sia Antonio che Carlo nuotano in linea retta verso di lei. Dopo un percorso di 10m, Antonio ha già raggiunto Manuela, mentre Carlo dovrà ancora percorrere 14 m per raggiungerla.Quanti litri d’acqua sono contenuti nella piscina? [Risposta: 955.672 litri]

7. La corda tangente

Una società è stata incaricata di coprire di moquette da parete a parete un corridoio anulare nel nuovo terminal di un aeroporto. Sapendo che la lunghezza di una corda tangente alla parete interna è di 100 m, si calcoli la superficie dell’anello. Si enunci poi una regola alternativa per calcolare l’area di una corona circolare. [Risposta: 7854 m²]

8. Il cono di legno

Un cono il legno di frassino (densità ρ = 0,82 g/cm³ ), avente il diametro di base e l’altezza uguali, rispettivamente, a 8 cm e 30 cm, presenta all’interno una cavità. Sapendo che la massa del cono è m = 380 g, si calcoli il volume della cavità. Se si sceglie a caso un punto all’interno del cono, qual è la probabilità che tale punto risulti esterno alla cavità? [Risposta: 39,24cm³       92,19%]

9. Pietre miliari

Un motociclista procede a velocità costante su di una strada statale. Poco dopo la partenza, incontra una pietra miliare con l’indicazione chilometrica scritta con due cifre. Un’ora più tardi, ne nota un’altra con le stesse due cifre, ma invertite, e, dopo un’altra ora, ne individua una terza con le due cifre iniziali, ma separate da uno zero. Quale è stata la velocità della moto? [Risposta: 45 km/h]

10. La legge di raffreddamento

Un oggetto caldo, avente una temperatura iniziale T₀ , collocato, al tempo t = 0, in un mezzo che si trova ad una temperatura più bassa T₁, si raffredda secondo la “legge di Newton del raffreddamento”

T=T₁ + (T₀ -T₁) e^–kt

dove T è la temperatura dell’oggetto al tempo t e k è una costante che dipende dal tipo di materiale con cui è realizzato. Si consideri una sfera di acciaio, portata ad una temperatura di 133°C e poi posta a raffreddare in una stanza in cui la temperatura dell’aria è di 22°C. Si calcoli la temperatura raggiunta dalla sfera dopo 20 minuti, sapendo che, dopo 10 minuti, era scesa a 108°C. [Risposta: 88,63 °C]

11. Lenti sottili

Per le lenti sottili convergenti vale la formula di Newton dei punti coniugati: l_0· l_i =f² dove f è la distanza focale, l₀ è la distanza dell’oggetto dal fuoco, l_i è la distanza dell’immagine dal fuoco. Si determinino le condizioni di minima distanza D tra oggetto e immagine. [Risposta: D_min=4f]

12. Le etichette scambiate

Si abbiano tre scatole, una delle quali contiene due palline rosse, un’altra due palline azzurre e la terza una pallina rossa e una azzurra. Sulle scatole è stata messa un’etichetta corrispondente al contenuto (RR, AA e RA), ma qualcuno ha scambiato le etichette, perciò sulle scatole ora ci sono le etichette sbagliate. Si può estrarre una pallina alla volta da qualsiasi scatola, senza guardare all’interno, e in base a questo “campionamento” si deve essere in grado di stabilire i contenuti delle tre scatole. Qual è il numero minimo di estrazioni necessarie per dare una risposta certa?

13. Le monete false

Si hanno 10 pile di monete, tutte uguali fra loro, diciamo da 1 euro. Una pila intera è composta da monete false, ma non si sa quale. Si sa quanto pesi una moneta legale da 1 euro ( m = 7,5g ), e si è saputo anche che ogni moneta falsa pesa un grammo in più della moneta vera. Si possono pesare le monete con una bilancia a molla. Qual è il numero minimo di pesate necessarie per stabilire quale sia la pila di monete false?