Ludendo Discitur, come misurare la profondità di un pozzo con un cronometro e un sasso.
Quanto segue è tratto dalla relazione tenuta dall’autore al Convegno Ludendo Discitur 2023.
La matematica, la scienza del come e del perché, richiede attenzione e fantasia. L’attenzione si sviluppa con gli esercizi, la fantasia risolvendo problemi e senza fantasia avanti non si va. Purtroppo in questo campo non si segnalano progressi, oggi come ai miei tempi, nel corso del primo e del secondo anno delle superiori ai problemi si dedicano le ultime settimane dell’anno scolastico, in pieno accordo con i libri di testo che vi dedicano poche pagine poste in fondo al volume.
Ludendo discitur, anche durante una gita si puo’ apprendere e insegnare quindi: Ludendo discitur atque docitur.
Un gruppo di giovani durante una gita in campagna scopre un pozzo abbandonato. I soliti curiosi si affacciano dal parapetto per vedere la propria effige nel fondo e non ci riescono. Si discute sulla profondità del manufatto e qualcuno propone di misurarla allacciando le cinghie dei calzoni. Provano, ma le cinture non sono sufficienti neppure aggiungendo un pezzo di corda trovata sul posto. A questo punto Luciano, appassionato di matematica e fisica, ha un’idea originale: ottenere la misura della distanza fra il bordo superiore del parapetto e la superficie libera dall’acqua contenuta, utilizzando il suo cronometro di marca vinto come premio in una gara matematica, tira fuori dallo zainetto un’agenda e un pennarello e comunica agli amici la sua decisione, alcuni compagni scoppiano dalle risate.
Interviene Annalisa, sempre pronta alle battaglie verbali e in competizione con Luciano sin dalla scuola materna, la quale rimprovera gli scalmanati e spiega che la misura richiesta si calcola con buona approssimazione lasciando cadere un sasso e misurando il tempo dall’inizio del moto all’istante in cui si percepisce il rumore dell’impatto con l’acqua o col fondo (Annalisa e Luciano sono i nomi dei miei figli).
Misurare la profondità di un pozzo ovvero di una distanza, costituisce un’operazione che si effettua di solito mediante una fune o un nastro graduato, a volerla misurare col cronometro si rischia di essere considerati folli.
Ebbene usando le conoscenze di matematica e fisica che si apprendono in cinematica e in acustica ci si riesce, basta lasciar cadere un sasso in modo da non toccare le pareti del foro praticato nel terreno, quando quello dopo un tempo t’ 0 raggiunge il pelo libero del liquido (o il fondo), parte un’onda sonora che raggiunge il parapetto nel tempo t”; mediante il cronometro si misura il tempo totale t’ + t” = T, a questo punto viene in aiuto la fisica la quale afferma che fra la profondità h del pozzo e la durata t’ intercorre il legame h = (1/2)gt’2 mentre h e t” sono legate dalla formula h = V t”, avendo indicato con g l’accelerazione di gravità e con V la velocità del suono nell’aria che saranno ritenute costanti durante l’esperimento.
Per quanto detto si scrivono le tre equazioni coinvolgenti le grandezze fisiche interessate e le rispettive misure,
h = ½gt’2, h = V t”, t’ + t” = T (1)
e poi dalla prima, scartando la radice negativa, dalla seconda e dalla terza di (1) si ottengono rispettivamente:
e ricordare come vanno trattate. Anzitutto occorre che T − h/V > 0 come il primo membro ossia che h<VT per motivi algebrici, in pieno accordo con le esigenze della fisica, la profondità del pozzo deve essere inferiore alla distanza V T percorsa dal suono nel tempo totale misurato dall’orologio, comprendente quello di caduta del sasso e quello di risalita del suono, in questo modo è possibile seguire la teoria e razionalizzare l’equazione contenente il radicale, ad operazione effettuata si ottiene nell’ordine di scrittura:
A questo punto bisogna scegliere quale delle due radici dell’equazione ha i requisiti per essere eletta soluzione del problema.
La radice h1 va scartata dato che contraddice la condizione h < V T (indispensabile sia per razionalizzare la seconda delle (3) e sia per obbedire al buon senso fisico) come mostrano le relazioni sottostanti
dato che V2– [Δ/4]½ = V2 – [2gTV3 + V4]½< 0 la h2 viene dichiarata soluzione del problema. Questo finale potrebbe venire assimilato da qualcuno a quello di un film dell’orrore, una soluzione che non è soluzione! Piano per favore, elevando al quadrato la x = 2 da una parte e dall’altra, si ottiene x2 = 4 le cui soluzioni sono i numeri 2 e -2 mentre la prima equazione accetta soltanto il numero 2, orbene l’equazione (2) viene razionalizzata elevando al quadrato, normalissimo che l’ultima operazione introduca una soluzione estranea.
Assumendo g = 10m/sec2, V = 300m/sec, T = 10sec, si ottiene una profondità di circa 390m.
Il programma del Convegno di Catania 2023 e le relazioni.
- Il programma
- Emilio Ambrisi
- Elisabetta Lorenzetti
- Alfio Ragusa
- Domenico Bruno (il testo è già presente su Matmedia)
- Giuseppe Zappalà
Convegno Ludendo discitur 2020 [VEDI]
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