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Misurare la profondità di un pozzo

Ludendo Discitur, come misurare la profondità di un pozzo con un cronometro e un sasso.

Quanto segue è tratto dalla relazione tenuta dall’autore al Convegno Ludendo Discitur 2023.

La matematica, la scienza del come e del perché, richiede attenzione e fantasia. L’attenzione si sviluppa con gli esercizi, la fantasia risolvendo problemi e senza fantasia avanti non si va. Purtroppo in questo campo non si segnalano progressi, oggi come ai miei tempi, nel corso del primo e del secondo anno delle superiori ai problemi si dedicano le ultime settimane dell’anno scolastico, in pieno accordo con i libri di testo che vi dedicano poche pagine poste in fondo al volume.

Ludendo discitur, anche durante una gita si puo’ apprendere e insegnare quindi: Ludendo discitur atque docitur.

Un gruppo di giovani durante una gita in campagna scopre un pozzo abbandonato. I soliti curiosi si affacciano dal parapetto per vedere la propria effige nel fondo e non ci riescono. Si discute sulla profondità del manufatto e qualcuno propone di misurarla allacciando le cinghie dei calzoni. Provano, ma le cinture non sono sufficienti neppure aggiungendo un pezzo di corda trovata sul posto. A questo punto Luciano, appassionato di matematica e fisica, ha un’idea originale: ottenere la misura della distanza fra il bordo superiore del parapetto e la superficie libera dall’acqua contenuta, utilizzando il suo cronometro di marca vinto come premio in una gara matematica, tira fuori dallo zainetto un’agenda e un pennarello e comunica agli amici la sua decisione, alcuni compagni scoppiano dalle risate.

Interviene Annalisa, sempre pronta alle battaglie verbali e in competizione con Luciano sin dalla scuola materna, la quale rimprovera gli scalmanati e spiega che la misura richiesta si calcola con buona approssimazione lasciando cadere un sasso e misurando il tempo dall’inizio del moto all’istante in cui si percepisce il rumore dell’impatto con l’acqua o col fondo (Annalisa e Luciano sono i nomi dei miei figli).
Misurare la profondità di un pozzo ovvero di una distanza, costituisce un’operazione che si effettua di solito mediante una fune o un nastro graduato, a volerla misurare col cronometro si rischia di essere considerati folli.

Ebbene usando le conoscenze di matematica e fisica che si apprendono in cinematica e in acustica ci si riesce, basta lasciar cadere un sasso in modo da non toccare le pareti del foro praticato nel terreno, quando quello dopo un tempo t’ 0 raggiunge il pelo libero del liquido (o il fondo), parte un’onda sonora che raggiunge il parapetto nel tempo t”; mediante il cronometro si misura il tempo totale t’ + t” = T, a questo punto viene in aiuto la fisica la quale afferma che fra la profondità h del pozzo e la durata t’ intercorre il legame h = (1/2)gt’2 mentre h e t” sono legate dalla formula h = V t”, avendo indicato con g l’accelerazione di gravità e con V la velocità del suono nell’aria che saranno ritenute costanti durante l’esperimento.

Per quanto detto si scrivono le tre equazioni coinvolgenti le grandezze fisiche interessate e le rispettive misure,

h = ½gt’2,     h = V t”,      t’ + t” = T    (1)

e poi dalla prima, scartando la radice negativa, dalla seconda e dalla terza di (1) si ottengono rispettivamente:

e ricordare come vanno trattate. Anzitutto occorre che T − h/V > 0 come il primo membro ossia che h<VT per motivi algebrici, in pieno accordo con le esigenze della fisica, la profondità del pozzo deve essere inferiore alla distanza V T percorsa dal suono nel tempo totale misurato dall’orologio, comprendente quello di caduta del sasso e quello di risalita del suono, in questo modo è possibile seguire la teoria e razionalizzare l’equazione contenente il radicale, ad operazione effettuata si ottiene nell’ordine di scrittura:

A questo punto bisogna scegliere quale delle due radici dell’equazione ha i requisiti per essere eletta soluzione del problema.

La radice h1 va scartata dato che contraddice la condizione h < V T (indispensabile sia per razionalizzare la seconda delle (3) e sia per obbedire al buon senso fisico) come mostrano le relazioni sottostanti

dato che V2– [Δ/4]½ = V2 – [2gTV3 + V4]½< 0 la h2 viene dichiarata soluzione del problema. Questo finale potrebbe venire assimilato da qualcuno a quello di un film dell’orrore, una soluzione che non è soluzione! Piano per favore, elevando al quadrato la x = 2 da una parte e dall’altra, si ottiene x2 = 4 le cui soluzioni sono i numeri 2 e -2 mentre la prima equazione accetta soltanto il numero 2, orbene l’equazione (2) viene razionalizzata elevando al quadrato, normalissimo che l’ultima operazione introduca una soluzione estranea.

Assumendo g = 10m/sec2, V = 300m/sec, T = 10sec, si ottiene una profondità di circa 390m.

Il programma del Convegno di Catania 2023 e le relazioni.

Convegno Ludendo discitur 2020 [VEDI]

 

Autore

  • Giuseppe Zappalà

    Giuseppe Zappalà, docente di fisica matematica all'Università di Catania, proveniente dai ruoli dell'insegnamento secondario. Ha compiuto ricerche originali nel campo delle applicazioni della matematica relative al tema della stabilità dei sistemi dinamici. Ugualmente sensibile ai problemi culturali e pedagogici, Giuseppe Zappalà è stato per molti anni il presidente della sezione Mathesis di Catania.

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