Numeri algebrici e trascendenti

Numeri algebrici e trascendenti. Definizione ed esistenza.

Ad inquadrare compiutamente l’argomento è riproposto il brano tratto da:

“Che cos’è la matematica?” di Richard Courant e Herbert Robbins – Paolo Boringhieri, Torino, 1950.

  «Un numero algebrico è un qualsiasi numero x, reale o complesso, che soddisfi a un’equazione algebrica della forma

  (1)   

dove le sono numeri interi. Per esempio,  è un numero algebrico che soddisfa l’equazione

Analogamente ogni radice di un’equazione a coefficienti interi, di terzo, quarto, quinto grado, o di grado superiore, è un numero algebrico, sia o meno  che le  radici  possano essere espresse mediante radicali. Il concetto di numero algebrico è una naturale generalizzazione del concetto di numero razionale, che corrisponde al caso particolare in cui n = 1.

Non tutti i numeri reali sono algebrici.

Questo si può dedurre dalla dimostrazione , dovuta a Cantor, della numerabilità della classe di tutti i numeri algebrici. Poiché la classe di tutti i numeri reali non è numerabile, devono esistere dei numeri reali che non sono algebrici.

Un modo per enumerare la classe dei numeri algebrici è il seguente: Facciamo corrispondere  a ogni equazione della forma (1) il numero intero positivo

come sua ‘altezza’. Per ogni valore fissato di h esiste soltanto un numero finito di equazioni (1) di altezza h. Ciascuna di queste equazioni può avere al massimo n radici distinte. Può esistere perciò soltanto un numero finito di numeri algebrici le cui equazioni abbiano altezza h, e si possono ordinare tutti i numeri algebrici in una successione prendendo prima quelli di altezza 1, poi quelli  di altezza 2, e così via.

Questa dimostrazione della numerabilità della classe  dei numeri  algebrici assicura dell’esistenza di numeri reali che non sono algebrici; tali numeri si dicono trascendenti, perché, come disse Eulero, essi ‘trascendono il potere dei metodi algebrici’.

La dimostrazione di Cantor dell’esistenza dei numeri trascendenti non può dirsi del tutto costruttiva. Teoricamente, si potrebbe costruire un numero trascendente applicando il procedimento diagonale di Cantor a un quadro ordinato di espressioni decimali delle radici  delle equazioni algebriche, ma questo procedimento non sarebbe affatto pratico e non condurrebbe ad alcun numero che possa essere espresso nel sistema decimale o in altro sistema qualsiasi. Inoltre, i più interessanti problemi sui numeri trascendenti consistono nel dimostrare che certi determinati numeri, come π e e…………  sono effettivamente trascendenti.»