Pascal
Blaise
(1623-1662)
Nacque a Clermont – Ferrand, si trasferisce a Parigi con il padre nel 1631 e frequenta dal 1635 in poi l’Accademia fondata a Parigi da Mersenne. Nel 1640 segue il padre a Rouen, dove tutta la famiglia si converte al Cristianesimo austero di Port – Royal. Malato, Pascal torna nel 1647 a Parigi e segue allora il periodo detto “mondano” ricco di intensa attività scientifica, seguito da una seconda “ conversione”. Dal 1654 si consacra a una vita cristiana attiva e assiste i giansenisti nella loro battaglia contro i Gesuiti. Dal 1658 è gravemente ammalato; morì nel 1662, all’età di 39 anni. Si conoscono soprattutto le opere classiche di Pascal, i Pensieri e Le Lettere scritte da Luigi di Montalto ad un suo amico provinciale, quest’ultima chiamata comunemente le Provinciali.
In matematica, Pascal è forse il più fra tutti quelli che avrebbero potuto lasciare il loro nome nella storia. Nel 1641 Pascal inventò una macchina calcolatrice che viene annoverata come uno dei primi, remoti antenati del moderno computer. All'età di 35 anni, colpito da un dolorosissimo mal di denti, egli lasciò vagare di nuovo i suoi pensieri lungo i sentieri matematici e il dolore scomparve. Pascal lesse l'episodio come un segno del cielo e fece un breve ma intenso ritorno alla ricerca matematica. In una settimana appena riuscì a scoprire le proprietà fondamentali della curva cicloide.
La sua opera più nuova, la creazione della teoria matematica della probabilità, deve essere divisa con Fermat, che avrebbe potuto facilmente crearla da solo. La creazione della geometria, che lo ha reso celebre come fanciullo prodigio, gli fu ispirata da Desargues. A soli sedici anni nel suo Saggio sulle coniche, Pascal ha dimostrato il suo Grande Teorema ed ha esposto non meno di 400 enunciati sulle sezioni coniche, riunendo l’opera di Apollonio e di altri. L’enunciato del teorema di Pascal è il seguente: Consideriamo un'ellisse e sul suo contorno prendiamo sei punti A, B, C, D, E, F e uniamoli a due a due, in quest'ordine, con linee rette . Otterremo un poligono di sei lati inscritto in una sezione conica, nel quale AB e DE, BC ed EF, CD ed FA sono coppie di lati opposti. Le due linee, in ognuna di queste tre coppie, si intersecano in un punto; i tre punti d'intersezione si trovano su una linea retta.
Il genere di geometria che Pascal studia nella sua opera differisce sostanzialmente dal genere di geometria dei Greci: non è metrica ma descrittiva o proiettiva.(…) Le proprietà metriche delle figure studiate in geometria elementare ordinaria non sono delle invarianti in proiezione: per esempio, l'ombra di un angolo retto non è più un angolo retto per tutte le proiezioni della seconda lamina.
Nella scienza sperimentale, Pascal ha avuto una visione più chiara di quella di Descartes, dal punto di vista moderno, del metodo scientifico, ma gli è mancata l’unità dello scopo perseguita invece da Descartes e, benché la sua opera sia di prim’ordine, egli si lasciò distogliere dal lavoro che avrebbe potuto compiere, dalla sua passione per le sottigliezze religiose.
( da “La geometria analitica. Il metodo delle coordinate” di L. Berzolari. Manuali Hoepli Serie Scientifica 388-389. Ulrico Hoepli Editore-Libraio Della Real Casa Milano- 1911).
Se
un cerchio rotola senza strisciare sopra una retta fissa, detta base-
così che in ogni istante l’arco di circonferenza che si è sviluppato sulla
base sarà uguale al segmento
rettilineo percorso dal centro- un qualunque punto P del piano, che sia
rigidamente connesso col cerchio, descrive una curva che chiamasi cicloide, e precisamente cicloide ordinaria se il punto appartiene alla circonferenza ( fig. 1),
allungata (cycloides prolata, inflexa )
(fig. 2) o accorciata ( fig. 3) (
cycloides curvata, nodata), se esso giace invece all’interno o
rispettivamente all’esterno del cerchio.
Questa
curva è stata oggetto di molti
studi per parte di Galileo, Torricelli, Descartes, Fermat,Roberval, Pascal,
Huygens, Leibniz e altri geometri del secolo XVII.
In
una posizione che si assume come iniziale, siano C il centro del cerchio, O il
punto di contatto del cerchio con la base, e P il punto considerato appartenente
alla retta OC ( il quale coincide con O quando la cicloide è ordinaria); e si
riferisca la curva ad un sistema di assi cartesiani ortogonali, prendendo per
origine O, per asse x la base col verso positivo nel senso del rotolamento, e
l’asse y volto positivamente da O a C. In una posizione qualunque, diciamo
il centro del
cerchio,
il punto generatore della cicloide,
Q il punto di contatto del cerchio con la base, ed
il punto della circonferenza in cui
è venuto a porsi quel punto della medesima che inizialmente era in O ( talché
per la cicloide ordinaria
coincide con
). Sulla retta
che è la posizione in cui si porterebbe l’asse y se, rigidamente connesso col
cerchio, venisse trascinato con questo nel suo movimento, prendasi come verso
positivo quello che da
conduce a
e si ponga, in valore assoluto e segno
; infine, dicasi r il raggio del cerchio, così che la cicloide sarà ordinaria,
allungata, o accorciata, secondo che il valore assoluto si a sarà eguale,
minore o maggiore di r.
Si
trovano facilmente le espressioni delle coordinate x e y di
in funzione dell’angolo b formato
dal verso positivo della retta
con quello dell’asse y: angolo che è uguale e contrario a quello di cui ha
ruotato il cerchio attorno al centro per portarsi dalla posizione iniziale a
quella considerata.
Invero
chiamando H il piede della perpendicolare condotta da
sulla retta
si ha
(1)
x= OQ-
H, y = Q
- H
.
Ma
il segmento OQ essendo uguale all’arco
Q di circonferenza è uguale in valore assoluto e segno ad rb; e il triangolo
rettangolo
H
dà pure in valore assoluto e segno,
H = -a senb, H
= -a cosb
Quindi
le (1) diventano
(2)
x = rb + a senb, y =
r + a cosb
che sono le formole cercate.
Se
in esse si aumenta b di 2kp,
dove k è un numero intero qualunque non cangia il valore di y, mentre quello di
x cresce di 2kpr
. Ciò significa che la cicloide consta di infiniti archi tutti fra loro
congruenti, i quali si deducono da uno qualunque di essi mediante una
traslazione di grandezza 2pr nel senso della base. Per assegnar la forma
della curva basta quindi far variare b, per esempio, dallo zero a 2p.
L’equazione
cartesiana della cicloide si ha eliminando tra le (2) il parametro b. La seconda
di esse porge
da
cui
ed
anche
Sostituendo
nella prima delle (2), risulta come equazione della cicloide
dove, per la formola citata, spetta al radicale il segno + o il segno – secondo che nel punto considerato il prodotto a senb è positivo o negativo, epperò, se a > 0, deve prendersi il segno + nella prima metà di ogni arco di curva e il segno – nella seconda metà, e il contrario se a < 0.
Ponendo
b = 0 nella seconda delle (2), si ricava: cos b= -
, quindi
, cioè soltanto la cicloide ordinaria e
la cicloide accorciata incontrano la base.
Ancora dalla seconda delle (2) si deduce che il massimo e il minimo valore di y son raggiunti quando sia cosb=-1 e cosb =+1, epperò tali valori di y sono r+a ed r-a; la curva è quindi tutta situata entro la striscia compresa fra le due rette, parallele all’asse x, aventi le equazioni y = r+a, y = r-a.
Si potrebbe anche dimostrare che, mentre la cicloide allungata è priva di punti doppi ( punti in ognuno dei quali il punto generatore della curva viene a cadere due volte), ne hanno invece infiniti le altre due specie di cicloide.