I problemi ancora aperti
A
proposito dei problemi ancora non risolti sui numeri primi Davis & Hersh (LEsperienza matematica, ed. di Comunità) affermano:
«Si potrebbe riempire un libro enorme con
tutte le conoscenze acquisite sui primi e con tutto quello che ancora non è
noto o è soltanto congetturato. Qualche esempio? Il più grande primo noto nel
1979 era
Esiste un primo tra n
e 2n per ogni intero n>1.
Esiste un primo tra
per ogni n>0 ? Nessuno lo sa. Ci
sono infiniti primi della forma
quando n è intero? Nessuno lo sa.
Ogni numero pari è somma di due primi dispari? Nessuno lo sa; questa è la
famigerata congettura di Golbach. Ci sono infinite coppie di primi come 11; 13 o
17; 19 o 10.006.427; 10.006.429 la
cui differenza è 2 ? Questo è il problema dei primi gemelli e nessuno conosce
la risposta, quantunque molti matematici siano convinti che molto probabilmente
lenunciato è vero. Perché si crede che sia vero, anche se non si dispone di
alcuna dimostrazione ? Innanzitutto abbiamo un dato numerico: troviamo nuove
coppie ogni volta che le cerchiamo; non sembra esistere una regione del sistema
dei numeri naturali così remota da giacere oltre la più grande coppia di primi
gemelli. Ma, cosa ancora più importante, abbiamo unidea di quante coppie di
primi esistono. Possiamo farci unidea notando che la frequenza delle coppie
di primi in una tabella sembra imprevedibile o casuale. Questo suggerisce una
congettura: la probabilità che i numeri n
e n +2 siano primi è identica alla
probabilità di ottenere testa in due lanci successivi di una moneta. Se due
esperimenti casuali successivi sono indipendenti, la probabilità di successo in
entrambi è il prodotto delle probabilità di successo di ciascuno.
Ora il teorema
dei numeri primi, che è stato dimostrato, dice che se n è un numero grande e scegliamo un numero x a caso tra 0 e n
la probabilità che x sia primo sarà circa 1\logn
. Quanto più grande è n, tanto
migliore è lapprossimazione data da 1\logn
al rapporto effettivo tra il numero dei primi minori di n
ed n stesso. Se confidiamo che
loccorrenza di primi gemelli
presenti qualche anomalia con il presentarsi di due teste nel lancio di due
monete, allora la probabilità che tanto x quanto x+2 siano primi sarebbe circa
In altre parole , si dovrebbero
trovare circa
coppie di primi tra 0 e n. Questa
frazione tende allinfinito quando n
tende allinfinito, e così ci fornisce una
versione quantitativa della congettura delle coppie dei primi.
Per
ragioni che riguardano la dipendenza dellessere primo
di x+2 dalla supposizione che x sia primo, si dovrebbe
modificare la stima da
a
.
Qui
di seguito è riportato un confronto tra ciò che è stato trovato e le
previsioni ottenute da questa semplice formula. La concordanza è notevole, ma
il Q.E.D. finale deve ancora essere scritto.
Intervallo |
Primi
Gemelli Previsti |
Primi
Gemelli Trovati |
100.000.000- 100.150.000
|
584 |
601 |
1.000.000.000- 1.000.150.000 |
461 |
466 |
10.000.000.000- 10.000.150.000 |
374 |
389 |
100.000.000.000- 100.000.150.000 |
309 |
276 |
1.000.000.000.000- 1.000.000.150.000 |
259 |
276 |
10.000.000.000.000- 10.000.000.150.000 |
221 |
208 |
100.000.000.000.000- 100.000.000.150.000 |
191 |
186 |
1.000.000.000.000.000- 1.000.000.000.150.000 |
166 |
161 |