I problemi ancora aperti

A proposito dei problemi ancora non risolti sui numeri primi Davis & Hersh (L’Esperienza matematica, ed. di Comunità)  affermano:

         «Si potrebbe riempire un libro enorme con tutte le conoscenze acquisite sui primi e con tutto quello che ancora non è noto o è soltanto congetturato. Qualche esempio? Il più grande primo noto nel 1979 era  Esiste un primo tra n e 2n per ogni intero n>1. Esiste un primo tra per ogni n>0 ? Nessuno lo sa. Ci sono infiniti primi della forma quando n è intero? Nessuno lo sa. Ogni numero pari è somma di due primi dispari? Nessuno lo sa; questa è la famigerata congettura di Golbach. Ci sono infinite coppie di primi come 11; 13 o 17; 19 o 10.006.427; 10.006.429  la cui differenza è 2 ? Questo è il problema dei primi gemelli e nessuno conosce la risposta, quantunque molti matematici siano convinti che molto probabilmente l’enunciato è vero. Perché si crede che sia vero, anche se non si dispone di alcuna dimostrazione ? Innanzitutto abbiamo un dato numerico: troviamo nuove coppie ogni volta che le cerchiamo; non sembra esistere una regione del sistema dei numeri naturali così remota da giacere oltre la più grande coppia di primi gemelli. Ma, cosa ancora più importante, abbiamo un’idea di quante coppie di primi esistono. Possiamo farci un’idea notando che la frequenza delle coppie di primi in una tabella sembra imprevedibile o casuale. Questo suggerisce una congettura: la probabilità che i numeri n e n +2 siano primi è identica alla probabilità di ottenere testa in due lanci successivi di una moneta. Se due esperimenti casuali successivi sono indipendenti, la probabilità di successo in entrambi è il prodotto delle probabilità di successo di ciascuno.

Ora il teorema dei numeri primi, che è stato dimostrato, dice che se n è un numero grande e scegliamo un numero x a caso tra 0 e n la probabilità che x sia primo sarà circa 1\logn . Quanto più grande è n, tanto migliore è l’approssimazione data da 1\logn al rapporto effettivo tra il numero dei primi minori di n ed n stesso. Se confidiamo che l’occorrenza  di primi gemelli presenti qualche anomalia con il presentarsi di due teste nel lancio di due monete, allora la probabilità che tanto x quanto x+2 siano primi sarebbe circa  In altre parole , si dovrebbero trovare circa   coppie di primi tra 0 e n. Questa frazione tende all’infinito quando n tende all’infinito, e così ci fornisce  una versione quantitativa della congettura delle coppie dei primi.

Per ragioni che riguardano la dipendenza dell’essere primo   di x+2 dalla supposizione che x sia primo, si dovrebbe  modificare la stima da a .

Qui di seguito è riportato un confronto tra ciò che è stato trovato e le previsioni ottenute da questa semplice formula. La concordanza è notevole, ma il Q.E.D. finale deve ancora essere scritto.’