La cicloide.
( da La geometria analitica. Il metodo delle coordinate di L. Berzolari. Manuali Hoepli Serie Scientifica 388-389. Ulrico Hoepli Editore-Libraio Della Real Casa Milano- 1911).
Se
un cerchio rotola senza strisciare sopra una retta fissa, detta base-
così che in ogni istante larco di circonferenza che si è sviluppato sulla
base sarà uguale al segmento
rettilineo percorso dal centro- un qualunque punto P del piano, che sia
rigidamente connesso col cerchio, descrive una curva che chiamasi cicloide, e precisamente cicloide ordinaria se il punto appartiene alla circonferenza ( fig. 1),
allungata (cycloides prolata, inflexa )
(fig. 2) o accorciata ( fig. 3) (
cycloides curvata, nodata), se esso giace invece allinterno o
rispettivamente allesterno del cerchio.
Questa
curva è stata oggetto di molti
studi per parte di Galileo, Torricelli, Descartes, Fermat,Roberval, Pascal,
Huygens, Leibniz e altri geometri del secolo XVII.
In
una posizione che si assume come iniziale, siano C il centro del cerchio, O il
punto di contatto del cerchio con la base, e P il punto considerato appartenente
alla retta OC ( il quale coincide con O quando la cicloide è ordinaria); e si
riferisca la curva ad un sistema di assi cartesiani ortogonali, prendendo per
origine O, per asse x la base col verso positivo nel senso del rotolamento, e
lasse y volto positivamente da O a C. In una posizione qualunque, diciamo
il centro del
cerchio,
il punto generatore della cicloide,
Q il punto di contatto del cerchio con la base, ed
il punto della circonferenza in cui
è venuto a porsi quel punto della medesima che inizialmente era in O ( talché
per la cicloide ordinaria
coincide con
). Sulla retta
che è la posizione in cui si porterebbe lasse y se, rigidamente connesso col
cerchio, venisse trascinato con questo nel suo movimento, prendasi come verso
positivo quello che da
conduce a
e si ponga, in valore assoluto e segno
; infine, dicasi r il raggio del cerchio, così che la cicloide sarà ordinaria,
allungata, o accorciata, secondo che il valore assoluto si a sarà eguale,
minore o maggiore di r.
Si
trovano facilmente le espressioni delle coordinate x e y di
in funzione dellangolo b formato
dal verso positivo della retta
con quello dellasse y: angolo che è uguale e contrario a quello di cui ha
ruotato il cerchio attorno al centro per portarsi dalla posizione iniziale a
quella considerata.
Invero
chiamando H il piede della perpendicolare condotta da
sulla retta
si ha
(1)
x= OQ-
H, y = Q
- H
.
Ma
il segmento OQ essendo uguale allarco
Q di circonferenza è uguale in valore assoluto e segno ad rb; e il triangolo
rettangolo
H
dà pure in valore assoluto e segno,
H = -a senb, H
= -a cosb
Quindi
le (1) diventano
(2)
x = rb + a senb, y =
r + a cosb
che sono le formole cercate.
Se
in esse si aumenta b di 2kp,
dove k è un numero intero qualunque non cangia il valore di y, mentre quello di
x cresce di 2kr
. Ciò significa che la cicloide consta di infiniti archi tutti fra loro
congruenti, i quali si deducono da uno qualunque di essi mediante una
traslazione di grandezza 2r nel senso della base. Per assegnar la forma
della curva basta quindi far variare b, per esempio, dallo zero a 2p.
Lequazione
cartesiana della cicloide si ha eliminando tra le (2) il parametro b. La seconda
di esse porge
da
cui
ed
anche
Sostituendo
nella prima delle (2), risulta come equazione della cicloide
dove, per la formola citata, spetta al radicale il segno + o il segno secondo che nel punto considerato il prodotto a senb è positivo o negativo, epperò, se a > 0, deve prendersi il segno + nella prima metà di ogni arco di curva e il segno nella seconda metà, e il contrario se a < 0.
Ponendo
b = 0 nella seconda delle (2), si ricava: cos b= -
, quindi
, cioè soltanto la cicloide ordinaria e
la cicloide accorciata incontrano la base.
Ancora dalla seconda delle (2) si deduce che il massimo e il minimo valore di y son raggiunti quando sia cosb=-1 e cosb =+1, epperò tali valori di y sono r+a ed r-a; la curva è quindi tutta situata entro la striscia compresa fra le due rette, parallele allasse x, aventi le equazioni y = r+a, y = r-a.
Si potrebbe anche dimostrare che, mentre la cicloide allungata è priva di punti doppi ( punti in ognuno dei quali il punto generatore della curva viene a cadere due volte), ne hanno invece infiniti le altre due specie di cicloide.