NUMERI
ALGEBRICI E TRASCENDENTI
Definizione ed esistenza.
Ad
inquadrare compiutamente largomento è riproposto il brano tratto da Che
cosè la matematica? di Richard
Courant e Herbert Robbins Paolo Boringhieri, Torino, 1950.
«Un numero algebrico è un qualsiasi numero x, reale o complesso, che soddisfi a unequazione algebrica della forma
(1)
dove
le
sono numeri interi. Per esempio,
è un numero algebrico che soddisfa
lequazione
Analogamente ogni radice di unequazione a coefficienti interi, di terzo, quarto, quinto grado, o di grado superiore, è un numero algebrico, sia o meno che le radici possano essere espresse mediante radicali. Il concetto di numero algebrico è una naturale generalizzazione del concetto di numero razionale, che corrisponde al caso particolare in cui n = 1.
Non
tutti i numeri reali sono algebrici. Questo si può dedurre dalla dimostrazione
, dovuta a Cantor, della numerabilità della classe di tutti i numeri algebrici.
Poiché la classe di tutti i numeri reali non è numerabile, devono esistere dei
numeri reali che non sono algebrici.
Un
modo per enumerare la classe dei numeri algebrici è il seguente: Facciamo
corrispondere a ogni equazione
della forma (1) il numero intero positivo
come
sua altezza. Per ogni valore fissato di h esiste soltanto un numero finito
di equazioni (1) di altezza h. Ciascuna di queste equazioni può avere al
massimo n radici distinte. Può esistere perciò soltanto un numero finito di
numeri algebrici le cui equazioni abbiano altezza h, e si possono ordinare tutti
i numeri algebrici in una successione prendendo prima quelli di altezza 1, poi
quelli di altezza 2, e così via.
Questa
dimostrazione della numerabilità della classe
dei numeri algebrici
assicura dellesistenza di numeri reali che non sono algebrici; tali numeri si
dicono trascendenti, perché, come
disse Eulero, essi trascendono il
potere dei metodi algebrici.
La
dimostrazione di Cantor dellesistenza dei numeri trascendenti non può dirsi
del tutto costruttiva. Teoricamente, si potrebbe costruire un numero
trascendente applicando il procedimento diagonale di Cantor a un quadro ordinato
di espressioni decimali delle radici delle
equazioni algebriche, ma questo procedimento non sarebbe affatto pratico e non
condurrebbe ad alcun numero che possa essere espresso nel sistema decimale o in
altro sistema qualsiasi. Inoltre, i più interessanti problemi sui numeri
trascendenti consistono nel dimostrare che certi determinati numeri, come p e
e
sono effettivamente
trascendenti.»