Il
Teorema di Liouville e la costruzione dei numeri trascendenti.
(da
Che cosè la matematica? di Richard
Courant e Herbert Robbins Boringhieri, Torino, 1950)
«Una
dimostrazione dellesistenza dei numeri trascendenti precedente a quella di
Cantor fu data da J. Liouville (1809-82). La dimostrazione del teorema di
Liouville permette di costruire
effettivamente degli esempi di tali numeri. Essa è , in un certo senso, più
difficile della dimostrazione di Cantor, come sono per lo più le costruzioni
rispetto alle dimostrazioni relative allesistenza. Svolgiamo qui la
dimostrazione soltanto per i lettori più esperti, sebbene essa non richieda
nozioni più elevate di quelle impartite in una scuola superiore.
Liouville
dimostrò che i numeri algebrici irrazionali sono quelli che non possono essere
approssimati da numeri razionali con un grado altissimo di approssimazione, a
meno che i denominatori delle frazioni con
cui si approssimano non siano grandissimi.
Supponiamo
che il numero z soddisfi lequazione algebrica a coefficienti interi
ma
non unequazione di grado inferiore. Si dice allora che z è un numero
algebrico di grado n. Per esempio,
è un numero algebrico di grado 2,
perché soddisfa lequazione
ma non unequazione
di primo grado;
è un numero algebrico di
terzo grado, perché soddisfa lequazione
e nessuna equazione di grado inferiore. Un
numero algebrico di grado n >1 non può essere razionale, perché
un numero razionale
soddisfa lequazione
qx p = 0 di primo grado. Ora un numero irrazionale
z qualsiasi può essere approssimato da
un numero razionale con la precisione voluta;
questo significa che si può trovare una successione
di
numeri razionali, a denominatore sempre maggiore, tale che
Il
teorema di Liouville afferma: Per ogni numero algebrico z di grado n >1
tale approssimazione non può superare
; cioè, la diseguaglianza
deve valere per denominatori sufficientemente grandi.
Prima
di dimostrare questo teorema, facciamo vedere come esso permette la costruzione
di numeri trascendenti. Consideriamo il numero
dove
le
sono cifre arbitrarie comprese tra
1 e 9 ( si potrebbe, per esempio, scegliere le
uguali a 1). Tale numero è
caratterizzato da gruppi, rapidamente crescenti, di zeri consecutivi interrotti
da una sola cifra non nulla. Indichiamo con
la frazione decimale finita che si
ottiene prendendo i termini di z fino a
compreso. Allora
Supponiamo
che z sia un numero algebrico di grado n. Poniamo nella (3)
si ottiene:
per
m sufficientemente grande. Combinando questa relazione con la (4) si avrebbe
cosicché (n+1) m! > (m+1)!-1 per ogni m abbastanza grande. Ma questo non vale ogni volta che si attribuisce a m un valore maggiore di n; si arriva perciò a una contraddizione. Quindi z è trascendente.