Il Teorema di Liouville e la costruzione dei numeri trascendenti.

(da “Che cos’è la matematica?” di Richard Courant e Herbert Robbins – Boringhieri, Torino, 1950)

«Una dimostrazione dell’esistenza dei numeri trascendenti precedente a quella di Cantor fu data da J. Liouville (1809-82). La dimostrazione del teorema di Liouville  permette di costruire effettivamente degli esempi di tali numeri. Essa è , in un certo senso, più difficile della dimostrazione di Cantor, come sono per lo più le costruzioni rispetto alle dimostrazioni relative all’esistenza. Svolgiamo qui la dimostrazione soltanto per i lettori più esperti, sebbene essa non richieda nozioni più elevate di quelle impartite in una scuola superiore.

Liouville dimostrò che i numeri algebrici irrazionali sono quelli che non possono essere approssimati da numeri razionali con un grado altissimo di approssimazione, a meno che i denominatori delle frazioni  con cui si approssimano non siano grandissimi.

Supponiamo che il numero z soddisfi l’equazione algebrica a coefficienti interi

ma non un’equazione di grado inferiore. Si dice allora che z è un numero algebrico di grado n. Per esempio,  è un numero algebrico di grado 2, perché soddisfa l’equazione  ma non un’equazione  di primo grado;   è un numero algebrico di terzo grado, perché soddisfa l’equazione e nessuna equazione di grado inferiore.  Un numero algebrico  di grado n >1 non può essere razionale, perché  un numero razionale  soddisfa l’equazione  qx – p = 0 di primo grado. Ora un numero irrazionale  z qualsiasi può essere approssimato da  un numero razionale con la precisione voluta;  questo significa che si può trovare una successione

di numeri razionali, a denominatore sempre maggiore, tale che

Il teorema di Liouville afferma: Per ogni numero algebrico z di grado n >1 tale approssimazione non può superare ; cioè, la diseguaglianza

deve valere per denominatori sufficientemente grandi.

Prima di dimostrare questo teorema, facciamo vedere come esso permette la costruzione  di numeri trascendenti. Consideriamo il numero

dove le  sono cifre arbitrarie comprese tra 1 e 9 ( si potrebbe, per esempio, scegliere le  uguali a 1). Tale numero è caratterizzato da gruppi, rapidamente crescenti, di zeri consecutivi interrotti da una sola cifra non nulla. Indichiamo con  la frazione decimale finita che si ottiene prendendo i termini di z fino a  compreso. Allora

Supponiamo che z sia un numero algebrico di grado n. Poniamo nella (3)   si ottiene:

per m sufficientemente grande. Combinando questa relazione con la (4) si avrebbe

cosicché  (n+1) m! > (m+1)!-1 per ogni m abbastanza grande. Ma questo non vale ogni volta che si attribuisce a m un valore maggiore di n; si arriva perciò a una contraddizione. Quindi z è trascendente.