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Osservazione sul tema 3

Una osservazione sul quesito a) del Tema 3 del Concorso del 16 Marzo 2000.    Grazie mille per l'invio delle soluzioni. Vorrei obiettare

Una osservazione sul quesito a) del Tema 3
del Concorso del 16 Marzo 2000.

   Grazie mille per l’invio delle soluzioni.
Vorrei obiettare però il risultato del primo quesito. Credo che la probabilità cercata sia 1/2 in quanto si sapeva già il risultato della prima estrazione.
Si tratta secondo me di una probabilità condizionata, anche se  fra eventi indipendenti (infatti P(A/B)=P(A)). Spero in una vostra distrazione in quanto sul compito ho calcolato la probabilità 1/2.
Per il secondo quesito anche io ho fatto come voi, però alcuni miei colleghi hanno considerato anche la coppia 1, 1 come primi fra loro. Spero si sbaglino loro.
Comunque vi ringrazio per l’attenzione e vi auguro un buon lavoro.
Distinti saluti.
Gerardo

 

A proposito della soluzione da voi proposta per il primo quesito di probabilità, mi pare che ci sia un errore: La traccia dice:”POSTO CHE NEL PRIMO DEI DUE LANCI SIA USCITO UN NUMERO PARI”, il che presuppone che il “giocatore” sappia già che al primo lancio il risultato è stato pari!!! Quindi la probabilità che anche il secondo sia pari (essendo questo evento indipendente dal precedente) è uguale a 1/2!!! (E’ questa la risposta esatta!). Altrimenti la traccia avrebbe chiesto la probabilità che entrambi i lanci siano pari (che è banalmente, senza bisogno di elencare tutte le coppie che soddisfano la richiesta, uguale a 1/2*1/2)
dott. Anna Rita Merode

 

  In due lanci di un dado simmetrico, siano le variabili aleatorie X = “uscita di un numero pari nel primo lancio” e   Y=”uscita di un numero pari nel secondo lancio”. Le due variabili casuali sono equidistribuite ed indipendenti, ed assumono i valori 0 (se non esce un pari) oppure 1 (se esce un pari) con probabilità rispettivamente 1/2 e 1/2.
      Se si interpreta il quesito a) come una probabilità condizionata, cioè come P(Y=1|X=1)(=la probabilità che Y prenda il valore 1 nell’ipotesi che X abbia assunto il valore 1), allora la probabilità cercata è 1/2 perché il risultato del primo lancio non condiziona il risultato del primo.
     Se invece si interpreta il quesito come la probabilità congiunta P(X=1,Y=1), così come molti potrebbero aver fatto, allora il risultato è (legge della moltiplicazione ) :
P(X=1,Y=1)=P(X=1) P(Y=1|X=1)=P(X=1) P(Y=1)=(1/2)(1/2)=1/4.
     Se avessimo ragionato in due lanci di una moneta simmetrica e avessimo definito le variabili aleatorie Z=”numero di teste nel primo lancio” e Q=”numero di teste al secondo lancio” avremmo ottenuto lo stesso risultato: ciò è dovuto al fatto che Z e Q sono equidistribuite a X e Y (si veda a tale proposito, A.M. Cerasoli, M. Cerasoli, Calcolo delle probabilità, Zanichelli, 1991, p.103-104).
Prof. Cesare Palmisani

 

    In una delle pagine del sito matmedia.ing… vengono riportate le soluzioni del tema relativo al concorso a cattedre della classe 048  A (Mat. Applicata); a proposito del problema del lancio dei dadi, si afferma che questa questione ha suscitato un vivace dibattito,  sul fatto che 1 e’ primo con se stesso.
Mi permetto di dare il mio modesto contributo a tale discussione. In primo luogo, e’ ben noto che il concetto di “primo” e “composto” si da’ per in numeri naturali maggiori o uguali a 2 (meglio ancora, per gli elementi dell’anello Z diversi da 0 e dagli elementi invertibili, che sono 1 e -1); perciò 1 non e’ ne’ primo ne’ composto. Tuttavia si può dare la definizione di “numeri primi tra loro” indipendentemente dalla definizione di “numero primo” (a dispetto del termine usato molto simile); basta dire appunto che due numeri sono primi tra loro se il loro MCD è 1 (a proposito, in Z il MCD ad esempio tra 12 e 20 non è solo 4, ma anche -4, perché  la definizione si da’ a meno di elementi invertibili). Perciò io non avrei dubbi sul fatto che 1 e’ “primo con qualsiasi altro numero” (pur non essendo “primo”), e quindi anche con se stesso.
D’altra parte,  gli studiosi di teoria dei numeri ben conoscono la funzione f  (indicatore di Eulero).  Tale funzione è  definita per un naturale n come IL NUMERO DEI NUMERI NATURALI MINORI O UGUALI AD n E PRIMI CON ESSO. Ad esempio, f (10) vale 4, perché i numeri compresi tra 1 e 10 primi con 10 sono quattro: 1 , 3 , 7 , 9. La funzione fvale 1
per n=1, e guai se non fosse così, perché f e’ una funzione
MOLTIPLICATIVA; si definisce moltiplicativa una funzione aritmetica f non identicamente nulla tale che f(mn) = f(m)f(n) ogniqualvolta il MCD tra m ed n è 1; si vede facilmente che ogni funzione moltiplicativa vale 1 per n=1.
Ulteriori dettagli si possono trovare nei testi di teoria dei numeri, in particolare quelli riguardanti le funzioni aritmetiche.
Saluti
Dott. Biagio Palumbo
Dipartimento di Matematica Universita’ Roma Tre
Largo S. Leonardo Murialdo, 1
00146 ROMA

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