La curva normale o gaussiana perché si chiama anche curva degli errori? Le considerazioni di Francesco Tricomi in un articolo del 1932.
«Perché il diagramma della legge di Gauss suol chiamarsi la curva degli errori?». L’interrogativo così posto risale a Francesco Giacomo Tricomi. Si trova in un suo articolo dal titolo Le variabili casuali pubblicato sul n.2/1932 del Periodico di Matematiche. Tricomi, ovviamente, pose la domanda per dare la risposta ad un tema che in quegli anni era di particolare attualità. Nel fascicolo precedente del PdM, infatti, anche Bruno de Finetti era intervenuto con l’articolo Probabilità fuori dagli schemi di urne e poi vi ritornerà nel 1934 con Come giustificare elementarmente la “legge normale” della probabilità? Dove “elementarmente” vuole significare, egli scrisse, “col minimo apparato matematico e col massimo potere persuasivo”. I tre interventi si riveleranno molto utili per l’insegnamento della probabilità anche a livello secondario .
Ecco la risposta di Tricomi alla domanda da lui posta:
dove h è una costante positiva: la cosiddetta «precisione».
Qual’è però la portata precisa di quell’asserzione? In particolare; siamo di fronte ad un fatto di carattere sperimentale, oppure la circostanza che gli errori seguono la legge di Gauss è matematicamente deducibile da ipotesi più semplici? Storicamente parlando non c’è dubbio che «la legge degli errori» ha avuta un’origine teorica; però, essendo generalmente noto che il ragionamento con cui Gauss la dedusse dal cosiddetto postulato della media ( anche a prescindere dalle non infondate critiche rivolte a questo stesso postulato) dà luogo ad obiezioni che ne infirmano il valore; così molti, quasi per reazione, sono ancor’oggi propensi a credere che la legge di Gauss non abbia che un valore sperimentale, al punto da essere indotti a chiedersi se non sia il caso di cercare empiricamente qualche altra formula che meglio rappresenti i dati sperimentali.
E dico «ancor’oggi» perché, se una simile concezione poteva giustificarsi qualche tempo fà, essa non mi sembra più difendibile al giorno d’oggi in cui, un gruppo di ricerche oltremodo interessanti e profonde, iniziatesi con Tchebycheff e continuate con Liapounoff, Cantelli, Leroy, ecc., ha condotto ad una rigorosa dimostrazione della legge di Gauss, a partire da ipotesi accettabilissime e di alto grado di generalità.
L’interesse concettuale di queste nuove ricerche risiede specialmente nel fatto che esse risalgono ad una concezione dell’origine stessa dell’errore, la cui prima idea può già riscontrarsi in Laplace, secondo cui l’errore osservato x sarebbe la somma di un grandissimo numero di errori elementari, dovuti a cause ignote o mal note, indipendenti e tali che ciascuna di esse, se fosse sola ad agire, produrrebbe un effetto di un ordine di grandezza assai minore di quello di x. In altre parole: l’errore x si considera come la somma di un grandissimo numero di variabili casuali indipendenti x1, x2,……, xn sulle cui singole leggi di probabilità poco o nulla si sa, all’infuori dell’accennata relazione fra gli ordini di grandezza delle xk e quello di x.Francesco Tricomi, La variabili casuali, PdM, 2/1932
L’armamentario matematico essenziale
Il succinto passo ripreso da Tricomi ha un indubbio valore anche per inquadrare storicamente una questione la cui rilevanza didattica è notevole. A conferma di ciò, si riporta il testo assegnato come problema della maturità scientifica nella sessione ordinaria del 2004:
Il problema è stato già ricordato, insieme ad altri problemi e quesiti, da Adriana Lanza in: Curve a campana per un elaborato integrato
Per quanto attiene infine i legami della curva normale o gaussiana degli errori accidentali con l’armamentario matematico appare comodo far cenno agli sviluppi in serie di Taylor seguenti:
cambiando x in -x:
e quindi, integrando termine a termine:
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