Prima i numeri reali o prima gli interi?

Dove vive l’insieme ℝ? Un’ulteriore riflessione sui numeri reali: esistenza matematica, tappe della loro costruzione, aporie fondatrici e didattica.

1. La frase rituale

La frase è rituale: «Sia ℝ l’insieme dei numeri reali». È una delle espressioni più abituali quando si fa matematica. Insegnanti, studenti e ricercatori la usano con naturalezza, come se quel simbolo fosse autoevidente e la sua dimora nell’universo matematico fosse ben conosciuta. Niente è invece più stimolante di soffermarsi a chiedersi che cosa significhi evocare tale insieme, da dove venga, quali ne siano le radici logiche e storiche. Eppure, dietro quella sigla rassicurante si raccoglie una costruzione ricca di significati che troppo spesso vengono dati per scontati.

Questo vale anche per tutte le sue varianti ottenute sostituendo «ℝ» e «reali» con ℕ, ℤ, ℚ, ℂ e, rispettivamente, con naturali, interi, razionali, complessi. Tutte «totalità» inscatolate una nell’altra, gerarchicamente, mediante le consuete identificazioni. Tutti insiemi infiniti la cui costruzione, nell’impostazione insiemistica usuale, prende avvio dall’assioma dell’infinito.

Quella frase è comunque l’espressione canonica per concentrare l’attenzione sui numeri reali «presi» tutti insieme. Un infinito in atto, ovvero una presa di coscienza simultanea di tutti i numeri reali, la cui costruzione canonica avviene in tre tappe, partendo da ℕ, l’insieme dei numeri naturali.

2. Le tre tappe canoniche

• La prima tappa è l’insieme ℤ degli interi relativi: numeri positivi, negativi e zero. ℤ è un anello commutativo totalmente ordinato.
• La seconda tappa è la costruzione dell’insieme ℚ dei numeri razionali per l’aggiunta a ℤ degli inversi \(1/m\), dove \(m\in\mathbb Z\) è un intero non nullo. ℚ è un corpo commutativo totalmente ordinato, detto corpo delle frazioni di ℤ.

Esistono due differenze sostanziali tra ℤ e ℚ. Prima di tutto ℚ è un corpo mentre ℤ non è che un anello: l’inverso di un intero non nullo non è un intero, eccetto che per \(n=\pm1\); l’inverso di un numero razionale non nullo è invece sempre un altro numero razionale. Per costruzione ℚ è il più piccolo corpo contenente ℤ.

La seconda differenza è che ℚ è densamente ordinato: tra due numeri razionali distinti ce ne sono infiniti altri. Questo non accade in ℤ, dove tra due interi consecutivi non esistono altri interi.

Ma ℚ è in qualche modo «incompleto». Di qui l’idea di un «completamento» di ℚ rispetto alla distanza usuale. ℚ non basta a «riempire» la retta numerica. Vi sono numeri che non sono razionali e che tuttavia si presentano naturalmente nello studio della geometria, come \(\sqrt2\), dell’analisi, come \(\pi\) ed \(e\), o in contesti più astratti. Per colmare queste «lacune» si introduce la terza tappa: la costruzione del corpo totalmente ordinato ℝ dei numeri reali per completamento di ℚ.

• La terza tappa è ℝ. Le costruzioni possibili sono almeno due, ed entrambe eleganti e rigorose: una tramite successioni di Cauchy, che realizza il completamento metrico di ℚ, l’altra tramite i tagli di Dedekind, che ha avuto particolare fortuna nell’insegnamento secondario.

In entrambi i casi si ottiene un corpo ordinato completo, dove ogni successione di Cauchy — cioè ogni successione i cui termini diventano reciprocamente vicini quanto si vuole — ha effettivamente un limite all’interno dell’insieme stesso. È proprio questa proprietà di completezza che distingue ℝ da ℚ.

Una volta ottenuto ℝ, diventa quasi «naturale» attribuire significato all’infinità dei punti sulla retta, al concetto di continuità, alla nozione di funzione reale e di limite. E proprio qui, nella pratica matematica e nella sua didattica, si compie un salto: si tende a usare ℝ come se fosse «sempre esistito», presupposto, dato per scontato. L’insieme dei numeri reali entra in scena come un personaggio imprescindibile, ma senza che si senta il bisogno di mostrarne «personalità e genesi».

3. Cardinalità e «probabilità»

Come provato da Cantor, ℚ ha la cardinalità del numerabile, mentre ℝ ha per cardinale la potenza del continuo, strettamente maggiore. L’ipotesi del continuo riguarda invece l’esistenza di cardinalità intermedie fra quella del numerabile e quella del continuo.

Si può anche dire che, se si sceglie a caso un numero reale in un intervallo della retta numerica, si ha probabilità uno di ottenere un irrazionale e probabilità zero di ottenere un razionale: «pressoché tutti» i numeri reali sono irrazionali.

Questo non significa che sia impossibile scegliere un razionale: i razionali sono infiniti e presenti in ogni intervallo. Significa che il loro insieme ha misura nulla.

4. Algebrici e trascendenti

I numeri irrazionali si dividono a loro volta in due classi. In una gli irrazionali algebrici, come \(\sqrt2\), che sono soluzione di un’equazione algebrica

\[
x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0
\]

a coefficienti \(a_i\) razionali. Nell’altra gli irrazionali trascendenti, come \(\pi\) o \(e\), che non sono soluzione di alcuna equazione di questo tipo.

L’esistenza dei numeri trascendenti fu dimostrata per la prima volta da Liouville nel 1844. Il 13 maggio di quell’anno, era un lunedì, egli presentò il suo risultato all’Accademia delle Scienze di Parigi.

L’osservazione decisiva riguarda l’approssimazione dei numeri algebrici mediante numeri razionali. Sia \(\alpha\) una radice irrazionale di un polinomio irriducibile \(f(x)\) di grado \(n\), a coefficienti interi. Per ogni numero razionale \(p/q\), con \(q>0\), si ha

\[
f\left(\frac pq\right)\ne0
\quad\Longrightarrow\quad
\left|f\left(\frac pq\right)\right|
\geq\frac1{q^n}.
\]

Infatti, moltiplicando \(f(p/q)\) per \(q^n\), si ottiene un intero non nullo, il cui valore assoluto è almeno 1.

D’altro lato, se \(p/q\) è abbastanza vicino ad \(\alpha\),

\[
f\left(\frac pq\right)
\approx
\left(\frac pq-\alpha\right)f'(\alpha),
\]

con \(f'(\alpha)\ne0\). Applicando il teorema del valor medio e considerando anche i razionali lontani da \(\alpha\), si conclude che esiste una costante opportuna \(c>0\) tale che, per ogni razionale \(p/q\),

\[
\left|\alpha-\frac pq\right|
\geq\frac{c}{q^n}.
\]

Un numero algebrico irrazionale non può dunque essere approssimato dai razionali oltre certi limiti, legati al suo grado. Se un numero irrazionale ammette approssimazioni che superano quei limiti per ogni possibile grado, allora è trascendente.

Un esempio classico è il numero di Liouville

\[
L=\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{10^{k!}}
=0{,}110001000000000000000001\ldots
\]

Le cifre 1 occupano le posizioni corrispondenti ai fattoriali. Le somme parziali approssimano questo numero tanto bene da escludere che possa essere algebrico: se il denominatore della somma parziale è \(q_N=10^{N!}\), l’errore è positivo e minore di \(2/q_N^{N+1}\).

L’approssimazione, dunque, non serve soltanto a calcolare un numero: può rivelarne la natura.

Poiché i polinomi a coefficienti interi sono numerabili e ciascuno ha un numero finito di radici, anche l’insieme dei numeri algebrici ha la potenza del numerabile. «Pressoché tutti» i numeri reali sono dunque trascendenti, anche nel senso della misura, benché dimostrare la trascendenza di un particolare numero possa essere assai difficile.

5. Estensioni ulteriori

La considerazione dei numeri algebrici conduce naturalmente ad altre estensioni di ℚ e di ℝ. \(\sqrt2\) e \(-\sqrt2\) sono entrambe soluzioni dell’equazione algebrica di secondo grado

\[
x^2-2=0.
\]

Ma se si considera l’analoga equazione

\[
x^2+2=0,
\]

si constata subito che non ha alcuna soluzione reale, poiché ogni quadrato è non negativo e si ha sempre \(x^2+2>0\). È dunque naturale cercare di ampliare ℚ e ℝ relativamente all’esistenza delle radici delle equazioni algebriche in generale.

Nel caso di ℝ, si cercherà un’estensione ℝ* che sia algebrica su ℝ e algebricamente chiusa: ogni polinomio di grado \(n\) a coefficienti in ℝ* dovrà avervi \(n\) radici, contate con le loro molteplicità. ℝ* si dice una chiusura algebrica di ℝ ed è unica a meno di isomorfismi che fissano ℝ.

Per ottenere ℝ* basta aggiungere a ℝ l’unità immaginaria \(i\), con \(i^2=-1\): \(\mathbb R^*=\mathbb R(i)\) è il corpo ℂ dei numeri complessi.

ℂ è un corpo commutativo, completo rispetto alla distanza usuale e algebricamente chiuso, che non possiede un ordine totale compatibile con le operazioni di campo. Tale risultato è notevole poiché mostra che basta un’estensione di dimensione 2 per ottenere la chiusura algebrica di ℝ: ℂ è infatti uno spazio vettoriale su ℝ di dimensione 2, come mostra la rappresentazione dei numeri complessi nel piano.

6. Il caso di ℚ

Tutt’altro accade per ℚ. Sia ℚ* la chiusura algebrica di ℚ, supposta inclusa in ℂ, ottenuta aggiungendo a ℚ tutte le radici complesse delle equazioni algebriche a coefficienti razionali.

Si può mostrare che, come spazio vettoriale su ℚ, ℚ* è di dimensione infinita. Esistono inoltre infinite estensioni intermedie

\[
\mathbb Q\subseteq K\subseteq\mathbb Q^*.
\]

Quelle di dimensione finita su ℚ sono chiamate campi di numeri e costituiscono uno degli oggetti della teoria algebrica dei numeri.

Ricordare la costruzione di ℝ e le sue tappe — da ℕ a ℤ, da ℤ a ℚ, da ℚ a ℝ — significa ricordare che la matematica non si fonda su presupposti magici, ma su una logica interna coerente e costruita passo dopo passo. Significa anche far emergere, nell’insegnamento, il carattere riflessivo e consapevole del pensiero matematico.

7. La partenza da ℕ

I numeri naturali sembrano la base di tutto, tanto che a Kronecker è attribuita la celebre affermazione secondo la quale Dio avrebbe fatto i numeri naturali e tutto il resto sarebbe opera dell’uomo.

A parte questa incontrollabile ipotesi sul loro fabbricatore, la priorità dei naturali trova sostegno nella possibilità di ricondurre il calcolo con gli interi e con i razionali a operazioni sui numeri naturali.

Un esempio è la regola dei segni: lo studente della scuola media ha l’impressione che si tratti di ricette che vanno apprese e basta: meno per meno deve fare più.

Ma la parola deve richiede una spiegazione: la necessità nasce dalle proprietà che si sceglie di conservare nel nuovo sistema numerico. Se vogliamo mantenere le consuete proprietà dell’addizione e la distributività della moltiplicazione, il prodotto di due numeri negativi deve essere positivo. La scelta riguarda le proprietà da conservare; la regola ne è una conseguenza.

Quelle che prima abbiamo chiamato regole di calcolo si mutano allora in proprietà formali. Un simile slittamento di prospettiva si individua in quello che Peacock chiamò principio di permanenza delle proprietà formali: un principio euristico che guida il passaggio ai nuovi sistemi numerici conservando, per quanto possibile, le proprietà delle operazioni già note.

8. La struttura di ℝ

ℝ è, a meno di isomorfismo, l’unico corpo totalmente ordinato completo, nel senso che ogni suo sottoinsieme non vuoto e limitato superiormente possiede un estremo superiore. Questa completezza comporta anche la proprietà archimedea: per ogni \(x>0\) e ogni \(M>0\), esiste un naturale \(n\) tale che

\[
nx>M.
\]

Ogni quantità positiva, per quanto piccola, può oltrepassare qualsiasi altra quantità mediante un opportuno multiplo intero. In altre parole, ℝ non ammette infinitesimi non nulli.

Su questa struttura si fonda l’analisi reale: un continuo senza lacune, che consente di definire in modo rigoroso concetti come limite, derivata, integrale, funzione continua.

Le tappe descritte rendono ℝ un costrutto molto ricco, fondamentale per una parte vastissima della matematica. Eppure spesso se ne parla o lo si introduce come se fosse un’entità primitiva, autoevidente! Averne precisato la struttura non esaurisce dunque la domanda sulla sua «dimora»: resta da interrogare il rapporto fra il discreto dal quale siamo partiti e il continuo al quale siamo giunti.

9.   L’aporia fondatrice della matematica: la «dimora» di ℝ

Da una parte, ripercorrere le tappe potrebbe significare far prendere coscienza agli studenti della «genesi» di ℝ — delle sue motivazioni storiche e delle sue proprietà logiche — ovvero restituire significato a molti concetti fondamentali. La nozione stessa di retta reale, la densità dei razionali, l’irrazionalità di \(\sqrt2\), l’esistenza di \(\pi\) o di \(e\): tutti questi aspetti possono diventare occasione per stimolare la curiosità e l’abitudine al ragionamento astratto.

Dall’altra parte, generare il continuo a partire dal discreto può apparire, sul piano filosofico, una soluzione «fantasmatica»: irreale, artificiosa, il prodotto di una logica svincolata dalla realtà, una creazione della mente umana.

Non bisogna nascondersi infatti — è il senso dell’osservazione di René Thom — che, se si abbandona l’aspetto strettamente tecnico della matematica per una considerazione più filosofica, si può giungere a conferire al continuo, per la sua immediata evidenza intuitiva, un fondamento ontologico assai più solido di quello attribuito alle costruzioni iterative infinite della teoria degli insiemi e dell’algebra.

La difficoltà, con il continuo, è che, in quanto tale, sembra sottrarsi al discorso. Una vera e propria entità ineffabile! Bisogna farvi dei segni, distinguervi dei punti, perché si possa costituire un discorso a proposito del continuo.

Perché la scienza cominci, è necessario dotare il continuo di discontinuità. Ma appena si introducono distinzioni, si individuano punti, intervalli e figure sui quali si può operare: con operazioni insiemistiche — unione, intersezione, complemento — o con operazioni di carattere geometrico, come la traslazione sulla retta reale.

L’aspetto costruttivo, operativo, delle matematiche è legato necessariamente anche a questo lavoro di distinzione, al suo aspetto discreto, discontinuo.

È nell’opposizione concettuale discreto/continuo che si delinea allora la «dimora» di ℝ. La costruzione formale procede dai naturali ai reali; l’intuizione può seguire il cammino inverso: prima la retta percepita senza buchi, poi i segni che vi introduciamo per distinguere, misurare, contare.

10. La sintesi didattica

L’aporia getta così luce anche sul piano didattico: prima gli interi o prima i reali? Prima la retta o prima i segni di distinzione? L’ordine della costruzione logica deve necessariamente coincidere con quello dell’insegnamento?

Nella prospettiva di Thom, il continuo offre la realtà ontologica sulla quale il pensiero introduce i segni necessari perché la scienza cominci. Una via didattica convergente è quella preferita da Bruno de Finetti attraverso la probabilità: partire dalla retta, dalla totalità intuitiva dei reali, e riconoscervi poi le distinzioni. Scegliendo uniformemente un punto in un intervallo, la probabilità di incontrare un razionale è zero, benché i razionali siano densi. Il continuo si presenta così in tutta la sua ricchezza, prima della sua sistemazione formale.

Le approssimazioni successive offrono un’altra via d’accesso. È un’indicazione ricorrente nei programmi d’insegnamento: i numeri naturali, interi, razionali, già noti agli studenti, sono ripresi in forma più sistematica; si può pervenire ai vari ampliamenti a partire da effettive necessità operative, mettendo in luce la permanenza delle proprietà formali e della relazione d’ordine.

Il numero reale può essere introdotto in via intuitiva, come processo costruttivo che nasce sia da esigenze di calcolo numerico, sia da un confronto fra grandezze omogenee. Come osservava Nicolas Bourbaki, infatti, «ogni misura di grandezza implica una nozione approssimativa di numero reale»: la pratica stessa del misurare non restituisce mai la misura «esatta» nella sua completezza formale, ma una sequenza di approssimazioni che rimanda inevitabilmente alla struttura sottostante dei reali.

Per questo è importante premettere esempi di calcolo approssimato, in cui porre l’accento sulla significatività delle cifre, anche al fine di far vedere come il risultato del calcolo possa essere illusorio in assenza di una corretta valutazione dell’errore.

Il risultato di Liouville offre a questo percorso un ulteriore motivo d’interesse: la qualità delle approssimazioni razionali può consentire di riconoscere la trascendenza di un numero. Un procedimento familiare nella pratica del calcolo si apre così a una questione sulla natura stessa dei numeri.

Dove vive, dunque, ℝ? La sua «dimora» si delinea nella dialettica fra discreto e continuo, fra la costruzione che procede dai naturali e l’intuizione della retta senza buchi sulla quale cominciamo a fare dei segni. Nell’insegnamento, entrambe le prospettive meritano di trovare posto.

La frase «Sia ℝ l’insieme dei numeri reali» può allora conservare la sua necessaria brevità, senza cancellare la ricchezza di ciò che raccoglie: problemi, scelte, costruzioni, una storia. Mostrare almeno una parte di questa storia significa restituire a quel personaggio imprescindibile la sua «personalità e genesi».