Da Problemi di Gare matematiche di Bruno Rizzi – Quaderni Mathesis – Tipografia R. Luciani – Roma,1974.
Problema N. 4
Bruno Rizzi (1935 – 1995)
Le tre figure rappresentano un quadrato, un ottagono, un cerchio, tutti di perimetro uguale ( supponiamo unitario); il filo che penzola dal lato verticale a sinistra (nel caso del cerchio, dal punto più a sinistra) deve venire avvolto sul profilo (quadrato, ottagono, cerchio) tenendolo teso, così che il suo estremo P percorrerà una linea della forma indicativa disegnata.
Determinare un’espressione della lunghezza per n qualunque e per il caso del cerchio, tenendo presente che al crescere di n i poligoni si confondono col cerchio ( ed allora la curva è l’evolvente della circonferenza).
A fianco è indicato il modo di costruire la curva descritta dell’estremo P nel caso del quadrato. La figura rende evidente che la linea descritta dal filo è costituita da quattro archi di circonferenza di raggi rispettivamente 1/4, 2/4, 3/4, 4/4 ( essendo il perimetro del quadrato unitario e perciò ogni lato di lunghezza 1/4).
La lunghezza complessiva della curva è dunque:
In modo del tutto analogo si costruisce la curva nel caso dell’ottagono; basta pensare a 8 semiquarti di circonferenza di raggi via via crescenti di 1/8 a partire da 1/8 fino a 8/8. La lunghezza complessiva in questo caso è
In generale, partendo da un poligono regolare con un numero n di lati, la lunghezza della curva (ricordando la formula che dà la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica) risulta
n = 4,
= 1,25p; n = 8, l = 1,125p; n= 12, l = 1,083π;
n = 40, l=1,025p; n = 60, l= 1,016p; n = 120, l= 1,008π.
Si intuisce che la precedente successione, al crescere del numero dei lati, si avvicina sempre più a π perciò la lunghezza dell’evolvente del cerchio è π. Tutto ciò può essere rigorosamente dimostrato, calcolando il limite della (1):
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