Fare matematica muovendosi nello spazio. Ecco tre problemi di geometria nello spazio basati sul cubo.
I tre problemi che seguono sono stati elaborati dall’autrice in collaborazione con la collega Augusta Nanni. Essi sono basati sulla stessa figura solida: il cubo; propongono questioni risolvibili con tecniche diverse.
I problemi 1 e 2 attengono entrambi al calcolo della distanza di un punto da un piano ma, mentre il problema 1 chiede di determinarla sfruttando i teoremi della geometria euclidea, nel secondo si introduce un sistema di assi cartesiani. Nel problema 2 vengono aggiunti altri quesiti di geometria analitica.
Il problema 3 propone un quesito di massimo risolvibile sia mediante i metodi dell’analisi, sia per via elementare.
Problema 1
E’ dato il cubo ABCDEFGH , in figura, e sia M il punto medio di EF.
Lo scopo del problema è quello di determinare la distanza del vertice B dal piano AMG. Si risponda, quindi, alle seguenti domande:
- calcolare l’area del triangolo AMG;
- calcolare il volume del tetraedro ABMG;
- dedurre la distanza BT dal piano
Il problema chiede di saper:
- visualizzare figure nello spazio
- saper vedere le intersezioni di un cubo con un piano
- calcolare l’area di un triangolo nello spazio
- calcolare il volume di un tetraedro , considerando basi diverse
Ecco una soluzione
Problema 2
Sia dato il cubo ABCDEFGH, di lato 1, vedi figura, riferito a un sistema d’assi cartesiano in modo che risulti A(1;0;0), B(1;1;0), C(0;1;0), D(0;0;0), F(1;1;1) e sia M il punto medio di EF.
- Calcolare l’equazione del piano AMG.
- Calcolare la distanza di B dal piano AMG.
- Determinare l’equazione della sfera di centro B e tangente al piano AMG.
- Calcolare le coordinate del punto T di tangenza della sfera con il piano.
- Calcolare il volume del tetraedro ABMG.
Il problema chiede la conoscenza delle principali nozioni di analitica nello spazio:
-
- equazione del piano per tre punti
- intersezioni di un cubo con un piano
- distanza punto-piano
- equazione della sfera dato il centro e il raggio
- equazione della retta per un punto perpendicolare a un piano
- volume di un tetraedro
Ecco una soluzione
Problema 3
E’ dato il cubo ABCDEFGH, vedi figura problema 1, e sia M il punto medio di EF. Tagliare il tetraedro MFGB con un piano parallelo al piano del triangolo MFG a distanza x da esso e sia PQR il triangolo sezione. Calcolare x affinché sia massimo il volume del prisma avente altezza x e per base il triangolo PQR.
Il problema chiede di saper risolvere un problema di massimo e si può sviluppare
- con i metodi dell’analisi
- per via elementare
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