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Problemi di geometria nello spazio

Fare matematica muovendosi nello spazio. Ecco tre problemi di geometria nello spazio basati sul cubo.

I tre problemi che seguono sono stati elaborati dall’autrice in collaborazione con la collega Augusta Nanni. Essi sono basati sulla stessa figura solida: il cubo; propongono questioni risolvibili con tecniche diverse.

I problemi 1 e 2 attengono entrambi al calcolo della distanza di un punto da un piano ma, mentre il problema 1 chiede di determinarla sfruttando i teoremi della geometria euclidea, nel secondo si introduce un sistema di assi cartesiani. Nel problema 2 vengono aggiunti altri quesiti di geometria analitica.

Il problema 3 propone un quesito di massimo risolvibile sia mediante i metodi dell’analisi, sia per via elementare.

Problema 1

E’ dato il cubo ABCDEFGH , in figura, e sia M il punto medio di EF.

Lo scopo del problema è quello di determinare la distanza del vertice B dal piano AMG. Si risponda, quindi, alle seguenti domande:

  1. calcolare l’area del triangolo AMG;
  2. calcolare il volume del tetraedro ABMG;
  3. dedurre la distanza BT dal piano

Il problema chiede di saper:

  • visualizzare figure nello spazio
  • saper vedere le intersezioni di un cubo con un piano
  • calcolare l’area di un triangolo nello spazio
  • calcolare il volume di un tetraedro , considerando basi diverse

Ecco una soluzione

Problema 2

Sia dato il cubo ABCDEFGH, di lato 1, vedi figura, riferito a un sistema d’assi cartesiano in modo che risulti A(1;0;0), B(1;1;0), C(0;1;0), D(0;0;0), F(1;1;1) e sia M il punto medio di EF.

  1. Calcolare l’equazione del piano AMG.
  2. Calcolare la distanza di B dal piano AMG.
  3. Determinare l’equazione della sfera di centro B e tangente al piano AMG.
  4. Calcolare le coordinate del punto T di tangenza della sfera con il piano.
  5. Calcolare il volume del tetraedro ABMG.

Il problema chiede la conoscenza delle principali nozioni di analitica nello spazio:

    • equazione del piano per tre punti
    • intersezioni di un cubo con un piano
    • distanza punto-piano
    • equazione della sfera dato il centro e il raggio
    • equazione della retta per un punto perpendicolare a un piano
    • volume di un tetraedro

Ecco una soluzione

Problema 3

E’ dato il cubo ABCDEFGH, vedi figura problema 1, e sia M il punto medio di EF. Tagliare il tetraedro MFGB con un piano parallelo al piano del triangolo MFG a distanza x da esso e sia PQR il triangolo sezione. Calcolare  x affinché sia massimo il volume del prisma avente altezza  x e per base il triangolo PQR.

  Il problema chiede di saper risolvere un problema di massimo e si può sviluppare

  • con i metodi dell’analisi
  • per via elementare

Ecco una soluzione

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