Esempi di problemi di inseguimento. Confronto tra un problema delle Propositiones ad acuendos juvenes di Alcuino di York e un quesito pubblicato da “La Settimana Enigmistica”.
Quest’ultimo può essere interpretato sia come un quesito logico/matematico, sia come un problema di Cinematica.
Alcuino di York- Propositiones ad acuendos juvenes- IX secolo. Proposizione XXVI
C’è un campo lungo 150 piedi. Ad un’estremità c’era un cane, all’altra una lepre. Il cane correva dietro alla lepre inseguendola. Ma mentre il cane avanzava di 9 piedi ad ogni salto, la lepre ne avanzava soltanto di 7. Dica, chi lo vuole, quanti piedi percorsero e quanti salti fecero il cane inseguendo e la lepre fuggendo fino a quando la lepre fu catturata.
Il moto è visto come una successione di salti, da parte dei due corridori, si suppone con la stessa frequenza.
Lo spazio percorso è misurato in piedi, il conteggio dei salti sostituisce la variabile tempo, ovvero l’unità di tempo è la durata di un salto. Il rapporto tra la velocità del cane e quella della lepre è 9/7
Indicando con x lo spazio percorso dalla lepre, avremo:
x+150 = 9/7x → x = (75·7 = 525) piedi (spazio percorso dalla lepre)
(525 + 150 = 625) piedi (spazio percorso dal cane)
Numero di salti = 525/7 = 625/9 = 75
Soluzione di Alcuino
La lunghezza del campo è di 150 piedi, la metà è 75. Moltiplica 75·9 e avrai il numero di piedi percorsi dal cane; moltiplica 75·7 e avrai il numero di piedi percorsi dalla lepre.
Infatti, ad ogni salto il cane guadagna una distanza di 2 piedi rispetto alla lepre; quindi, colma la loro distanza di 150 piedi in 75 salti. Il cane avrà quindi percorso (75·9 = 675) piedi e la lepre (75·7 = 525) piedi
È interessante osservare come non sia menzionata la «velocità» ma è implicito il concetto di velocità relativa. Nel sistema di riferimento solidale con la lepre, il cane la insegue con velocità 2 piedi/salto e la raggiunge spostandosi di 150 piedi .
Essendo il tempo invariante (nelle trasformazioni galileiane), possiamo calcolarlo come rapporto Δsrelativo/vrelativa = 75 salti
La scala mobile. Un problema della Settimana Enigmistica (2017)
Luca e Marta salgono su una scala mobile che si muove verso l’alto. Entrambi continuano a camminare; nel tempo in cui Luca sale due gradini Marta ne sale uno, così Luca arriva in cima con 56 passi e Marta con 42. Quanti gradini mostra la scala mobile quando è ferma?
Soluzione 1 – pubblicata nel numero successivo della rivista
Soluzione 2 – ( relatività galileiana)
Modelli discreti e modelli continui nella descrizione del moto
Fibonacci Liber Abaci XII-1-6
Di due viaggiatori, dei quali l’uno raggiunge l’altro con la crescita ordinata dei numeri
Mostrate dunque le regole della raccolta dei numeri, ora invero si mostrano casi ad esse pertinenti, come è stato annunciato
Due uomini fanno un viaggio. Il primo uomo percorre 20 miglia al giorno, il secondo uomo va nel primo giorno 1 miglio, nel secondo 2 e nel terzo 3 e così, aggiungendo sempre un miglio al giorno cercava di perfezionare il suo cammino; si chiede in quanti giorni l’uno raggiungerà l’altro.
Questo si trova così: duplica il 20, fa 40; da cui sottrai 1, resta 39; in altrettanti giorni l’altro è raggiunto.
In questo problema il confronto tra i cammini dei due viaggiatori è il pretesto per proporre l’applicazione della regola della somma dei primi n numeri naturali, illustrata da Fibonacci nello stesso capitolo, come si legge una breve premessa al testo del problema.
La soluzione proposta è « uidelicet ut duplicentur 20, erunt 40 de quibus extrahas 1, remanent 39; in tot diebus eum consecutus est».
Con notazione moderna: 20n=n(n+1)/2→ 40= n+1 → n= 39
Il viaggio è visto come una successione di tappe e lo spazio percorso complessivamente da ciascun viaggiatore è la somma di un insieme discreto di numeri.
Una formalizzazione del problema alla luce delle leggi della Cinematica, considerando il tempo e lo spazio come variabili reali, pone alcuni interessanti elementi di discussione e una riflessione sull’utilizzo dei valori medi nella descrizione di un fenomeno.
- Considerando costante la velocità del primo viaggiatore e costante a tratti la velocità del secondo, come si può risalire alla legge oraria di ciascuno di essi?
- E’ possibile approssimare il viaggio del primo uomo con un moto rettilineo uniforme e quello del secondo con un moto uniformemente accelerato? Con quale velocità e con quale accelerazione?
- Qual è il valore della velocità media del secondo viaggiatore, durante l’intero percorso fino al ricongiungimento con il primo?
Il risultato rispetta la regola (della velocità media) di Merton?
Prendiamo ora in esame il seguente problema, tratto dal primo volume di un testo di Fisica del 1999, per studenti di scuola secondaria superiore.
Gli autori propongono una riflessione su un’importante regola metodologica per elaborare una «buona» descrizione quantitativa di un fenomeno fisico: un ragionamento corretto non è sufficiente se non è tradotto in un linguaggio matematico adeguato e rigoroso.
Il problema si rivela interessante per i suoi riferimenti al confronto tra modelli discreti e modelli continui per la descrizione del moto.
Come si osserva analizzando i famosi paradossi di Zenone, si può ottenere la coerenza dei risultati solo affrontando la problematica dell’infinito
Battimelli-Stilli. Le vie della Fisica – Ed. Laterza.-1999.Vol. 1
Silvia, con il suo cane Fido, si trova a una distanza di 2 Km dal suo amico Andrea. I due amici cominciano a camminare l’uno incontro all’altra alla velocità di 1km/h e contemporaneamente Fido trotterella avanti e indietro tra i due alla velocità di 3 km/h. Supponiamo che Fido si giri di scatto e torni indietro immediatamente indietro ogni volta che raggiunge uno dei due ragazzi. Quanti chilometri avrà percorso Fido quando i due amici si incontreranno?
Un semplice ragionamento porta alla soluzione:
Poiché i due amici si muovono alla stessa velocità di 1km/h, si incontreranno quando ciascuno di loro avrà percorso la metà della loro distanza iniziale, cioè 1km., quindi dopo un’ora.
Nello stesso tempo Fido, che corre alla velocità di 3 km/h avrà percorso 3 km.
Se però consideriamo il tragitto del cagnolino come somma di tanti tragitti si può pensare a un approccio analogo a quello del famoso paradosso legato al fantomatico inseguimento che vede protagonisti Achille e la tartaruga.
Ragionando alla maniera di Zenone si perviene a una successione di segmenti la cui lunghezza è pari a ¾ della distanza che separa fido dalla persona verso cui si dirige, muovendosi con velocità 3 volte maggiore. Questa distanza però risulta dimezzata ogni volta che Fido inverte il suo moto, in quanto entrambi i ragazzi, nel frattempo hanno percorso ¼ della distanza che li separa.
Il tragitto totale si presenta, pertanto, come la somma di infiniti termini .Un modo di ragionale poco attento potrebbe, pertanto, portare alla conclusione paradossale che il moto del cane non avrebbe mai fine.
Se, invece, si riconosce che gli infiniti tragitti costituiscono una progressione geometrica convergente di ragione ½ si ottiene:
Ritroviamo, quindi, il risultato precedente.
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