Alcuni storici esempi di problemi di “riempimento” tratti non solo dalle antiche raccolte.
Una formulazione dai toni poetici
Anonimo-Le fontane-Antologia palatina (raccolta di epigrammi di poeti greci dall’età arcaica all’età bizantina). Secolo X
Sono un leone di bronzo; fontane che sgorgano gli occhi,
la bocca e della zampa destra l’incavo.
L’occhio diritto due giorni a colmare la vasca ci mette,
l’occhio sinistro tre, quattro la zampa,
solo sei ore la bocca. Ma il tempo, se scrosciano insieme
bocca, pupille e zampa, di’, quant’è? [Risultato: 12/37 di giorno]
Alpha Test
Domanda di logica per la preparazione al test di ammissione alla facoltà di Medicina
Per riempire d’acqua una vasca ci sono tre rubinetti. il primo impiega, da solo, 2 ore a riempire la vasca. il secondo ne impiega 3, il terzo ne impiega 4. se vengono aperti tutti e 3 contemporaneamente, quanto tempo impiegano a riempire la vasca?
- A) 32 minuti
- B) 46 minuti
- C) 55 minuti
- D) 60 minuti
- E) 90 minuti
[Risposta esatta : C]
Liber Abaci Cap. XII. 3.31- 3.34. Secolo XIII
Il leone, il leopardo e l’ orso
Un leone mangiava una pecora in 4 ore, un leopardo in 5 e un orso in 6 ore. Un leone mangiava una pecora in 4 ore, un leopardo in 5 e un orso in 6 ore.
Si chiede, se fra loro fosse stata gettata una pecora, in quante ore l’avrebbero divorata
La caraffa con 4 fori sul fondo
Una caraffa ha quattro fori sul fondo; dal primo si svuota in 1 giorno, dal secondo in 2 giorni, dal terzo in 3 giorni, dal quarto in 4 giorni; si chiede in quante ore si svuota se i 4 fori vengono aperti insieme.
Problema di applicazione di equazioni sistemi algebrici. AA.VV. Algebra 1 – Zanichelli 1992
L’impianto A produce metano da biomasse con velocità tripla rispetto all’analogo impianto B. I due, lavorando insieme, producono una certa quantità di metano in 12 ore. Quanto tempo dovrebbe lavorare da solo l’impianto A per produrre la stessa quantità di metano? [Risultato : 16 ore]
Considerando gli esempi proposti osserviamo che solo l’ultimo, tratto da un testo scolastico, ricorre esplicitamente al concetto di velocità. Eppure, si può individuare facilmente un modello risolutivo, facile da adattare nei vari casi, proprio introducendo il concetto di “ velocità di riempimento” ( la portata del rubinetto)
Schema di soluzione
Per l’ultimo problema si può procedere nel modo seguente:
Indichiamo con vA la velocità dell’impianto A e con vB la velocità dell’impianto B
Il ricorso a un modello cinematico, che, nell’ultimo caso, è favorito dal riferimento alla velocità presente nel testo, non è però, scontato , né spontaneo .
Generalmente si tende a trascurare l’aspetto dinamico, concentrandosi solo sui dati corrispondenti allo stato finale.
Fibonacci propone questi problemi, nel Liber Abaci, dopo aver introdotto la regola della quarta proporzionale:”si queratur de 6, ad quem numerum eandem habet proportionem, quam 3 ad 5,sic facies. Multiplica 5 per 6 erunt 30; que divide per 3, exibunt 10.”
Le soluzioni dei problemi del Liber Abaci si basano, infatti, sulla proporzionalità che sussiste tra la quantità del prodotto e il tempo di produzione. L’aspetto più interessante è però l’approccio euristico con cui vengono individuati gli elementi della proporzione che si vuole costruire.
Soluzione di Fibonacci – Il leone, il leopardo e l’ orso.
Un leone mangiava una pecora in 4 ore, un leopardo in 5 e un orso in 6 ore
In 60 ore mangerebbero rispettivamente 15,12,10 pecore; in totale 37.
Pertanto, una sola pecora sarà divorata in 60·1/37 di ora.
Il problema della caraffa .
Se la caraffa fosse svuotata in 12 giorni attraverso i 4 fori, essa si svuoterebbe 12 volte attraverso il primo foro, 6 volte attraverso il secondo, 4 volte dal terzo e 3 volte dal quarto. In 12 giorni, pertanto, la caraffa sarebbe svuotata 25 volte, ovvero in 12 giorni si svuotano 25 caraffe. Pertanto, una sola caraffa sarebbe svuotata in 12·1/25 di giorno.
Allo stesso risultato si perviene mediante il modello risolutivo
I calcoli sono gli stessi effettuati da Fibonacci, il quale però ragiona sui possibili risultati del processo di svuotamento ma non fa intervenire il concetto di velocità.
Proviamo a utilizzare la formula di Fibonacci per rispondere al secondo problema, quesito a scelta multipla
Considera il minimo comune multiplo di 2, 3 e 4 cioè 12, dividilo per ciascuno dei re numeri e somma i risultati ( si ottiene 13). Il quarto proporzionale fra 13, 12 e 1 è 12/13, quindi la risposta esatta è 12/13 di ora, ovvero poco meno di un’ora.
Tra le possibili risposte la più plausibile è 55 minuti
Prendiamo in esame, infine, un problema, attribuito a Newton, il cui schema risolutivo è leggermente diverso dai precedenti e di cui si può leggere la soluzione completa nel file I buoi di Newton.
Neanche Newton ricorre ad un modello cinematico.
Probabilmente per esigenze didattiche – il problema fa parte degli esempi proposti ai suoi studenti di Cambridge – preferisce il ricorso al metodo aritmetico delle proporzioni.
Newton -Arithmetica Universalis- 1707 ( a cura di W. Whiston) – Metodo per tradurre un problema in equazione
PROBLEMA 11.
Si hanno tre prati di una uguale qualità e nei quali si suppone che l’erba cresca uniformemente.
Il primo può nutrire un numero di buoi a nel tempo c; il secondo e può nutrire un numero di buoi d per il tempo f; si domanda quanto il terzo può nutrirne nel tempo h.
ESEMPIO.
12 buoi pascolano l’erba di 3+1/3 arpenti [antica misura agraria equivalente a circa 3000m2 ] in 4 settimane; 21 buoi pascolano quella di 10 arpenti in 9 settimane; si chiede quanti buoi serviranno per mangiare l’erba di 24 arpenti in 18 settimane
[Risultato : 36 buoi]
File correlati
- Il concetto di velocità nelle raccolte di problemi
- Il problema degli uccelli e delle torri
- I buoi di Newton
- Problemi di inseguimento
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