Problemi e quesiti della maturità

Per fare matematica: ambienti di lavoro, problemi e quesiti della maturità, calcolo automatico, dimostrazioni.

L’insieme S dei triangoli aventi per lati numeri interi consecutivi è un buon ambiente di lavoro per fare matematica. S, ovviamente, è infinito numerabile e il suo primo elemento è il triangolo (2, 3, 4), cioè:

S = (2, 3, 4); (3, 4, 5); (4, 5, 6); …(k-1, k, k+1);……

Di questi triangoli eroniani, su Matmedia, ne ho già parlato più volte e l’hanno fatto anche Antonino Giambò e Adriana Lanza. In una di quelle note ho ricordato che (3, 4, 5) è, tra gli elementi di S, particolarissimo in quanto è l’unico ad essere rettangolo. Questa unicità consegue in modo inequivocabile e rapido dalla condizione pitagorica: (k-1)² + k² = (k+1)² la cui soluzione, la sola accettabile, è k=4. E ho scritto anche del triangolo (13, 14, 15), ugualmente singolare, perché una sua altezza è 12, un intero che si aggiunge alla successione degli interi consecutivi che esprimono le lunghezze dei lati, ponendo il triangolo nella condizione di essere, tra gli elementi di S, l’unico a godere di tale eccezionale e stupefacente regolarità numerica.

Ma anche il triangolo (4, 5, 6) è, tra i suoi omologhi in S, molto particolare. È l’unico che ha un angolo che è doppio di un altro; lo si può verificare calcolando le ampiezze degli angoli. Vediamo. Per la regola del coseno si ha:

6²= 4²+5² – 40cosα da cui cosα = 1/8 = 0.125

5²= 4²+6² –  48cosβ da cui cosβ = 9/16

4²= 5²+6² – 60cosγ da cui cosγ = 3/4

Basta dunque utilizzare uno strumento di calcolo, e più della calcolatrice classica, molto comodo è il ricorso a Google per arccos calculator per trovare che in gradi α = 82°49’9” e verificare che gli angoli sono γ, 2γ, 180°-3γ con γ = 41°24’35”.

Ancora più comodo è ricorrere al programma triangle calculator  che ancor più rapidamente per ogni triangolo (a, b, c) fornisce tutte le misure che possono interessare.

Ovviamente verificare non è dimostrare. La dimostrazione che il triangolo (4, 5. 6) è l’unico in S ad avere l’angolo maggiore che è doppio dell’angolo minore è però ugualmente rapida. Consegue dal fatto che per la regola dei seni è:

  cioè

quindi

Allo stesso tempo per la regola del coseno, è:

Uguagliando le due espressioni ottenute per cosγ si ha:

che risolta dà k=5 c.d.d..

L’esistenza in rete di tanti programmi come triangle calculator ci mette nelle condizioni di poter più speditamente investigare su altre proprietà interessanti godute da altri triangoli di S. Indipendentemente da ciò, però, il fatto che nei primi elementi di S s’incontrino triangoli affatto singolari i quali godono cioè, ciascuno per suo conto, di una esclusiva e interessante proprietà P può indurre a congetturare se ciò non sia vero per tutti gli elementi di S. In definitiva se non si possa dimostrare il seguente:

Teorema: Ogni elemento di S ha una proprietà P.

Ricordo di essermi occupato delle questioni affrontate qualche decennio fa quando ero docente di liceo e dopo essere tornato da un corso di aggiornamento che mi aveva motivato ad acquistare la mia prima calcolatrice (vedi Nota). L’dea del teorema mi era stata anche suggerita da qualcosa di analogo che avevo letto su un numero della rivista The mathematics teacher che peraltro non sono riuscito a ritrovare. La dimostrazione però l’ho ritrovata annotata e mi ha colpito e divertito per la semplicità e una certa dose di sano e arguto umorismo. Eccola.

Sia T l’insieme dei triangoli di S che non godono di alcuna esclusiva e interessante proprietà P. Ovviamente T può essere vuoto o non vuoto. Se T è non vuoto allora avrà sicuramente un primo elemento. E ciò è per sé stesso qualcosa di unico e di interessante di cui il triangolo gode. Chiaramente una contraddizione! Una contraddizione che porta a concludere che T deve essere necessariamente vuoto, ovvero che ogni triangolo ha una sua proprietà P. Il teorema è provato.

Per finire, non guasta un riferimento alla prova scritta della maturità scientifica che quest’anno torna ad essere nazionale e di sola matematica [VEDI]. In particolare, riporto due quesiti riguardanti argomenti affini a quelli trattati e che per quanto allora giudicati molto semplici non riscontarono tanta fortuna nelle scelte degli studenti.

• Un triangolo ha area 3 e due lati che misurano 2 e 3. Qual è la misura del terzo lato? Si giustifichi la risposta. (2014, anchor item, ordinamento e pni)
• Le misure dei lati di un triangolo sono 40, 60 e 80 cm. Si calcolino, con l’aiuto di una calcolatrice, le ampiezze degli angoli del triangolo approssimandole in gradi e primi sessagesimali. (2007, liceo di ordinamento).

Un riferimento merita però anche lo storico problema del 2007, assegnato a tutti gli indirizzi e giudicato difficilissimo.  Chiedeva di determinare il luogo geometrico dei triangoli aventi un angolo doppio di un altro e base assegnata.

Nota

Il corso di aggiornamento al quale mi riferisco si tenne a Milano sul finire degli anni ’70 presso il Museo della Scienza e della Tecnica. Si trattava di un corso d’iniziativa ministeriale diretto dall’isp. Ettore Orlandini con la collaborazione del prof. Mario Pavan (dal 1983 anche lui ispettore tecnico per il settore della matematica e fisica).  Il corso era dedicato all’uso delle tecnologie e agli strumenti di calcolo. Una quarantina di discenti tra i quali ricordo anche Walter Maraschini (scomparso nel 2017) con il quale feci il viaggio in treno di ritorno a Roma.

In quell’occasione del corso acquistai la mia prima Casio che adoperai anche per un articolo per il calcolo di π con la regola di Simpson “nota” alla macchina.