Problemi montessoriani per imparare a risolverli

Collezioni di problemi che sono il patrimonio professionale del docente e esperienze nelle quali distinguere ciò che varia da ciò che non varia è guida alla loro risoluzione.

Le lettere a, i, m denotano tre delle dieci cifre 0, 1, 2,……,9. Se (ai)² = mai, quali sono queste cifre?

Un problema istruttivo! Si potrebbe dire montessoriano. Per dare una risposta occorrono solo poche nozioni di aritmetica. Non è necessario alcun algoritmo da seguire e non sono richieste formule da applicare meccanicamente. Non si può dare, però, una risposta senza ragionare. Fa parte di quelle collezioni di problemi, esercizi della mente,  delle quali ogni docente di matematica dovrebbe possederne una, più o meno ampia,  come patrimonio suo, personale. Un patrimonio professionale dal quale attingere alla bisogna, a volte come punto di partenza per un lavoro più impegnativo, altre volte come esercizio di “riscaldamento” (la bella definizione è di Donal E. Knuth), altre volte ancora, come esercizio di divagazione (non vuota).

Per saperne di più su tali collezioni di problemi – finalità, metodi e strategie, generalizzazioni e ampliamenti – il docente interessato può consultare: George Polya, La scoperta matematica, Feltrinelli, 1971. Un libro ritenuto alla stregua di una Bibbia nel campo della didattica per problemi e tuttora da inserire in una possibile lista dei dieci libri che un docente di matematica deve aver letti.

Si può anche ri-enunciare il problema in modo più formale: trovare a, i, m tali che,  dove a, i, m sono interi, 1≤a≤9,  0≤i≤9, 0≤m≤9

Allora, per la soluzione del problema proposto seguiamo proprio Polya.

Cioè vediamo in quale direzione dobbiamo muovere i nostri passi per arrivare all’individuazione di m, i ed a. Il primo passo è proprio uno sguardo d’assieme all’equazione iniziale: a secondo membro la base ai c’è tutta, invariata. Questo significa, prima di tutto, che i² = i. Guardando i quadrati delle 10 cifre, questo comporta che i può essere 0, 1, 5 o 6.

Il passo successivo muove dal punto in cui si è giunti. La base ai può essere a0, a1, a5, a6. E a? Be’, qui serve uno sguardo al risultato finale mai: ha tre cifre e questo avviene per tutti i numeri da 10 a 31, essendo 32² = 1024

Ecco allora le sole dieci possibilità per ai:

10    11    15    16
20    21   25   26
30    31

I numeri quadrati corrispondenti sono:

100      121     225     256
400     441     625     676
900     961

Non ci possono essere dubbi. È a = 2, i = 5,  m = 6.

L’invarianza dell’ultima cifra ha fatto da guida.

Ha aperto gli occhi e tracciato la via da seguire. Ciò che non varia, che rimane inalterato, costante, ha diretto il primo passo verso la soluzione. Si ritrova qui quello che altrove si è sempre detto dell’invarianza (e della reversibilità): è l’autentico matescopio ( si veda Kasner e Newman), lo strumento indispensabile nel laboratorio della mente che fa matematica.

La storia dell’insegnamento della matematica è miniera inesauribile di problemi analoghi.

E problemi analoghi fanno tuttora parte dell’esperienza professionale di moltissimi insegnanti. In particolare di coloro che riflettono costantemente sul loro operato: cosa insegnano, perchè, come e con quali risultati. Un esempio non meno interessante è il seguente:

Si trovi il numero di quattro cifre abcd che moltiplicato per 9 dà per risultato dcba.

Anche qua la soluzione è più agevole se prioritariamente ci si rende conto che a non può essere che 1: da 2 in poi il risultato ha più di quattro cifre. Il numero cercato è della forma 1ab9, quindi

(10³ + 10²a+ 10b + 9)·9 = 9·10³ + 10²b + 10a + 1 

ovvero, semplificando: 89a + 8 = b,  il che implica a=0 e b=8. 

Il numero cercato è 1089 = 33². Moltiplicato per 9 dà 9801: il numero di partenza letto da destra a sinistra, allo specchio!

Il numero di cifre (quattro) che non muta ha fatto da guida: ha stabilito una relazione d’ordine nell’ambito delle condizioni del problema. Imparare a risolvere i problemi equivale anche a distinguere tra le varie condizioni quali sono quelle primarie e quali le secondarie.

Nell’ambito di siffatti problemi montessoriani, esemplare è l’esperienza didattica compiuta e raccontata, nella sua autobiografia, da Laurent Schwartz

Lavoravo con una dozzina di allievi di diverse età. C’erano anche quattro ragazze dodicenni che ridevano tutto il tempo e a cui dovevo insegnare i fondamenti della Geometria: erano adorabili, ma non capivano niente. In compenso, c’era un ragazzo più grande che se la cavava piuttosto bene con la Matematica e un altro ragazzino di dieci anni che era veramente bravo.

Potevo, per esempio, porgli il seguente problema: se prendo il numero 2527 e lo elevo alla 513-esima potenza, con quale cifra termina il numero che ottengo? Lui sapeva darmi rapidamente la risposta. In effetti, era un problema molto facile ma bisognava comunque capire il trucco: del numero 2517 conta soltanto l’ultima cifra. Bisogna semplicemente calcolare le potenze successive di 7 e vedere con quale cifra terminano: 70=1, 71=7, 72=49 che termina con 9. Le potenze successive di 7 terminano nell’ordine con 1,7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1,…… successione periodica di periodo 4.  Bisogna dunque calcolare il resto della divisione di 513 per 4: 513=4×128+1; il resto è 1. La potenza 7513 termina dunque esattamente per 71, ossia per 7. Il mio ragazzino era riuscito a capire questa proprietà e molte altre; peccato che non andasse per niente bene in Latino.

Anche qua c’è l’ultima cifra!

Ma non c’è solo il riferimento ad una invarianza numerica che “conta”, come dice Schwartz. C’è, globalmente parlando, una percezione di quelle che sono da sempre, anch’esse invariate, le questioni più dibattute dell’insegnamento e dell’apprendimento della matematica, compresi i fattori dell’età e della differenza di genere.

E c’è ancora la percezione dello stimolo a continuare imboccando una delle  tante vie lungo le quali è possibile incamminarsi. D’altronde è così: ogni problema che si è capito e risolto, è nodo di una rete di connessioni e, come tale, punto di partenza per il porsi di nuovi problemi. Al docente, dopo ogni problema, si offrono dunque più alternative. Tra queste rimanendo nell’ambito numerico dell’esempio di Schwartz continuare a lavorare sullo stesso imponendo però un salto tecnico notevole: di  2517⁵¹³ sappiamo qual è la sua ultima cifra, ma quante sono le sue cifre e quale ne è la prima?