Programmi Brocca

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I programmi Brocca. Matematica e Informatica disciplina comune a tutti gli indirizzi Obiettivi di Apprendimento Alla fine del biennio lo studente

I programmi Brocca. Matematica e Informatica disciplina comune a tutti gli indirizzi

Obiettivi di Apprendimento

Alla fine del biennio lo studente deve dimostrare di essere in grado di:

1.     individuare proprietà invarianti per trasformazioni elementari;
2.    dimostrare proprietà di figure geometriche;
3.    utilizzare consapevolmente le tecniche e le procedure di calcolo studiate;
4.    riconoscere e costruire relazioni e funzioni;
5.     matematizzare semplici situazioni riferite alla comune esperienza e a vari ambiti disciplinari;
6.    comprendere e interpretare le strutture di semplici formalismi matematici;
7.    cogliere analogie strutturali e individuare strutture fondamentali;
8.    riconoscere concetti e regole della logica in contesti argomentativi e dimostrativi;
9.    adoperare i metodi, i linguaggi e gli strumenti informatici introdotti;
10.  inquadrare storicamente qualche momento significativo dell’evoluzione del pensiero matematico.

Contenuti

Gli argomenti scritti in rosso  fanno parte del programma B e non del programma A

Il programma A, previsto per quattro ore settimanali, è per gli indirizzi classico, linguistico, socio-psico-pedagogico e artistici.
Il programma B, previsto per cinque ore settimanali, è per gli indirizzi scientifico, scientifico-tecnologico, tecnologici ed economico.

tema 1 GEOMETRIA DEL PIANO E DELLO SPAZIO

1.1. Piano Euclideo e sue trasformazioni isometriche. Figure e loro proprietà. Poligoni equiscomponibili; teorema di Pitagora.
1.2. Piano cartesiano: retta.
1.3. Esempi significativi di trasformazioni geometriche nello spazio. Individuazione di simmetrie in particolari solidi geometrici.

tema 2 INSIEMI NUMERICI E CALCOLO

2.1. Operazioni, ordinamento e loro proprietà negli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali.
2.2. Valori approssimati e loro uso nei calcoli elementari. Introduzione intuitiva dei numeri reali.
Radicali quadratici ed operazioni elementari su di essi.
2.3. Il linguaggio dell’algebra e il calcolo letterale: monomi, polinomi, frazioni algebriche.
Equazioni, disequazioni e sistemi di primo grado.
2.4. Equazioni e sistemi di primo e di secondo grado. Disequazioni di primo grado.

tema 3 RELAZIONI E FUNZIONI

3.1. Insiemi ed operazioni su di essi.
Prime nozioni di calcolo combinatorio.
3.2. Leggi di composizione ed individuazione di particolari strutture.
Prodotto cartesiano. Relazioni binarie: relazioni d’ordine e di equivalenza. Applicazioni (funzioni) .
3.3. Funzioni x à x + b, xàax2, xàa/x e loro grafici.
3.3. Funzioni xàax + b, xàax2 + bx + c, xàa/x e loro grafici.

tema 4 ELEMENTI DI PROBABILITÀ E DI STATISTICA

4.1. Semplici spazi di probabilità: eventi aleatori, eventi disgiunti e “regola della somma”.
4.2. Probabilità condizionata, probabilità composta. Eventi indipendenti e “regola del prodotto”.
4.3. Elementi di statistica descrittiva: rilevazione di dati, valori di sintesi, indici di variabilità.

tema 5 ELEMENTI DI LOGICA E DI INFORMATICA

5.1 Logica delle proposizioni: proposizioni elementari e connettivi, valore di verità di una proposizione composta.
Inferenza logica, principali regole di deduzione.
5.2.Variabili, predicati, quantificatori.
5.3.Analisi, organizzazione e rappresentazione di dati, costruzione strutturata di algoritmi e loro rappresentazione.
5.4. Automi finiti, alfabeti, parole e grammatiche generative. Sintassi e semantica. Prima introduzione ai linguaggi formali.

LABORATORIO DI INFORMATICA

Utilizzazione di un linguaggio di programmazione, analisi di problemi e loro soluzione sia con linguaggi di programmazione sia con l’utilizzazione di un opportuno ‘ambiente informatico’.

COMMENTO AI SINGOLI TEMI*
(*) Le parti scritte in rosso riguardano solo il programma B.

tema 1: GEOMETRIA DEL PIANO E DELLO SPAZIO

Lo studio della geometria nel biennio ha la finalità principale di condurre progressivamente lo studente dalla intuizione e scoperta di proprietà geometriche alla loro descrizione razionale e rappresenta come tale una guida privilegiata alla consapevolezza argomentativa. A ciò il docente può pervenire adottando un metodo, facendo leva sulle conoscenze intuitive apprese dallo studente nella scuola media, proceda allo sviluppo razionale di limitate catene di deduzioni; è tuttavia necessario che ogni ipotesi o ammissione cui si fa ricorso sia chiaramente riconosciuta e formulata in modo esplicito, quali che siano le ragioni che inducono ad assumerla tra i punti di partenza del ragionamento.

Al docente compete poi l’impegno di avviare la fase euristica su processi di assiomatizzazione partendo da semplici situazioni assunte nei vari campi. Ciò nella prospettiva di familiarizzare gli studenti col metodo ipotetico-deduttivo e pervenire negli eventuali studi successivi alla costruzione di un sistema di assiomi per la geometria elementare. A tal fine è bene programmare, in un quadro di riferimento organico, una scelta delle proprietà (teoremi) delle figure piane da dimostrare, utilizzando la geometria delle trasformazioni oppure seguendo un percorso più tradizionale.

Un traguardo importante dello studio della geometria è il piano cartesiano, come modello del piano euclideo. Con la sua introduzione sono disponibili, per la risoluzione dei problemi geometrici, sia il metodo della geometria classica che quello della geometria analitica, e lo studente va stimolato ad usare l’uno o l’altro in relazione alla naturalezza, alla espressività e alla semplicità che essi offrono nel caso particolare in esame.
La rappresentazione della parabola e dell’iperbole equilatera va effettuata rispetto a sistemi di riferimento scelti opportunamente.
Il coseno e il seno di un angolo sono introdotti limitatamente agli angoli convessi, in relazione allo studio delle proprietà dei triangoli e per le necessità proprie delle altre scienze, lo studio delle funzioni circolari è rinviato al periodo successivo.
Gli elementi di geometria dello spazio hanno lo scopo di alimentare e sviluppare l’intuizione spaziale. È in facoltà del docente presentare prima la geometria piana e poi quella dello spazio, oppure fondere, in relazione agli argomenti comuni, le due esposizioni.

tema 2: INSIEMI NUMERICI E CALCOLO

I numeri naturali, interi, razionali, già noti agli studenti, sono ripresi in forma più sistematica; si può pervenire ai vari ampliamenti a partire da effettive necessità operative, mettendo in luce la permanenza delle proprietà formali e della relazione d’ordine. L’esposizione può anche essere arricchita con l’illustrazione dell’evoluzione storica dei concetti di numerazione e di numero.
Il numero reale va introdotto in via intuitiva, come processo costruttivo che può nascere sia da esigenze di calcolo numerico, sia da un confronto fra grandezze omogenee. È importante premettere esempi di calcolo approssimato, in cui porre l’accento sulla significatività delle cifre, anche al fine di far vedere come il risultato del calcolo possa essere illusorio in assenza di una corretta valutazione dell’errore.
Il docente deve programmare lo sviluppo da dare al calcolo letterale per abituare lo studente alla corretta manipolazione di formule, sempre sostenuta dalla comprensione delle procedure da seguire. Si sottolinea, a questo proposito, l’inopportunità del ricorso ad espressioni inutilmente complesse, tenendo presente che la sicurezza nelcalcolo si acquisisce gradualmente nell’arco del biennio. È invece opportuno fare osservare ‚che un’espressione algebrica è interpretabile in modo naturale come uno schema di calcolo che può essere illustrato da un grafo; si può anche collegare il calcolo letterale ai linguaggi formali introdotti negli elementi di informatica.
Lo studio delle equazioni, delle disequazioni e dei sistemi va connesso alla loro rappresentazione sul piano cartesiano, con relative applicazioni a problemi di varia natura; nella risoluzione è sufficiente considerare le soluzioni nell’insieme dei numeri reali.
Nel presentare argomenti tradizionali di algebra è opportuno evitare di dare carattere di teoria ad argomenti che si riducono a semplici artifizi e di fornire classificazioni e regole distinte in situazioni in cui valgono gli stessi principi generali.

tema 3: RELAZIONI E FUNZIONI

Il docente, dopo aver riorganizzato le conoscenze sugli insiemi che gli studenti hanno già acquisito nella scuola media, deve aver cura di stabilire opportuni collegamenti tra le nozioni logiche e quelle insiemistiche: connettivi logici ed operazioni tra insiemi, predicato con un solo argomento e sottoinsiemi dell’insieme universo, predicati binari e relazioni ecc..
Lo studio del calcolo combinatorio si limita alle disposizioni, permutazioni, combinazioni e loro proprietà principali, il docente può approfittarne tra l’altro, per abituare lo studente a dimostrazioni di tipo algebrico.
Dall’esame delle relazioni d’ordine, delle proprietà formali negli insiemi numerici, delle composizioni di isometrie e dall’esame di altri esempi, il docente può arrivare, attraverso il riscontro di analogie strutturali, ai concetti di gruppo, di anello, di campo e di strutture d’ordine, senza tuttavia dare alla trattazione una sistemazione teorica, che viene rinviata ai successivi studi.
Alla nozione di relazione d’equivalenza va associata quella di insieme quoziente; con varie esemplificazioni (direzione di rette, classi di resti ecc.) Il concetto di funzione, fondamentale per stabilire relazioni di dipendenza, consente di visualizzare leggi e fenomeni in connessione interdisciplinare con altri ambiti.
L’introduzione delle funzioni x à ax + b, x àax2 +bx + c, xàa/x trova un naturale collegamento con la rappresentazione della retta, della parabola e dell’iperbole equilatera nel piano cartesiano; analogamente la nozione di zeri di tali funzioni trova collegamento con la risoluzione delle corrispondenti equazioni.
La nozione di grafico di una funzione va illustrata anche su esempi diversi, osservando che non è necessario attendere il possesso degli strumenti del calcolo differenziale per avere un’idea qualitativa dell’andamento di funzioni definite da semplici espressioni. In questo contesto l’impiego del calcolatore può essere importante, purchè‚ lo studente abbia consapevolezza del carattere approssimato delle rappresentazioni ottenute.

tema 4: ELEMENTI DI PROBABILITÀ· E DI STATISTICA

Lo studio delle probabilità, da un lato, sviluppa un corretto approccio alla analisi di situazioni in condizioni di incertezza, dando strumenti per trattare razionalmente le proprie informazioni e assumere decisioni coerenti e, dall’altro, fornisce nuovi ambiti in cui è possibile svolgere interessanti esempi di matematizzazione.
Per il consolidamento di una mentalità probabilistica che orienti lo studente anche nei giudizi della vita corrente, sono essenziali un avvio ragionato alle varie definizioni di probabilità ed una ricca esemplificazione tratta da situazioni reali. Lo studio delle probabilità costituisce inoltre un contesto in cui la formalizzazionene l’astrazione possono far pervenire ad una strutturazione assiomatica della teoria. Nella soluzione dei problemi è bene utilizzare una molteplicità di strumenti quali il calcolo combinatorio, i diagrammi di Eulero-Venn e grafi di vario tipo.
I contenuti della parte di statistica costituiscono l’occasione per una messa a punto più rigorosa e formalizzata di concetti e di strumenti in parte già conosciuti, suggerendone una più consolidata familiarizzazione attraverso applicazioni a problemi e contesti di tipo interdisciplinare. Particolare importanza riveste l’analisi e l’interpretazione dei dati presentati in varie forme, da quelle tabellari a quelle grafiche o a quelle più sintetiche, per mettere lo studente in grado di fruire correttamente e criticamente delle informazioni statistiche che a vario tipo gli pervengono.

tema 5: ELEMENTI DI LOGICA E DI INFORMATICA

Gli elementi di logica non devono essere visti come una premessa metodologica all’attività dimostrativa, ma come una riflessione che si sviluppa man mano che matura l’esperienza matematica dello studente. Fin dall’inizio bisogna abituare lo studente all’uso appropriato del linguaggio e delle formalizzazioni, a esprimere correttamente le proposizioni matematiche e a concatenarle in modo coerente per dimostrare teoremi, mentre solo nella fase terminale del biennio si può pervenire allo studio esplicito delle regole di deduzione. Così, ad esempio, si può osservare che la risoluzione delle equazioni si basa sull’applicazione di principi logici che consentono ai ottenere equazioni equivalenti o equazioni che sono conseguenza logica di altre. Le riflessioni linguistiche e logiche acquistano una caratteristica operativa nello sviluppo della parte di programma relativa all’informatica e ai linguaggi di programmazione. Ciò consente, tra l’altro, di cogliere le .differenze tra il piano linguistico e il piano metalinguistico, tra il livello sintattico e il livello semantico, particolarmente evidenziate dalla pratica al calcolatore. Va dato opportuno risalto alle analogie e alle differenze che intercorrono tra il linguaggio naturale e i linguaggi artificiali, tra il ragionamento comune e il ragionamento formalizzato. L’introduzione di elementi di informatica avvia lo studente alla costruzione di modelli formali di classi di problemi che conducano all’individuazione di una corretta ed efficiente strategia risolutivere i processi di elaborazione che consentono di pervenire alla soluzione con mezzi automatici. Durante l’attività di programmazione lo studena. Per questo è determinante abituare lo studente, partendo dal concetto di informazione, a individuare dati e relazioni tra di essi e a descrivte deve essere condotto a riconoscere ed utilizzare consapevolmente i tipi di dati e le loro più elementari strutture, nonchè‚ le regole di costruzione degli algoritmi (sequenza, selezione, iterazione) . In tale attività si devono evidenziare continuamente le analogie e le differenze tra gli ‘oggettì matematici e le loro rappresentazioni informatiche. La riflessione sulla formalizzazione di un processo favorisce la acquisizione dei concetti di automa e con ciò la possibilità di riconoscere l’aspetto logico-funzionale di alcune realtà (i linguaggi formali l’elaboratore, altri sistemi automatici) . I contenuti proposti trovano il loro naturale sviluppo nell’integrazione con l’attività di laboratorio. Laboratorio di informatica L’attività di laboratorio, distribuita lungo tutto l’arco del biennio, integra gli elementi di contenuto dei vari temi e costituisce essa stessa un momento di riflessione teorica.
Essa consiste in:
a) analisi di problemi e loro soluzione informatica attraverso sia la costruzione di un programma e il controllo della sua esecuzione, sia l’utilizzazione di programmi già disponibili. e di software di utilità; in quest’ultimo caso l’utilizzazione di tali ‘ambientì abitua lo studente ad operare consapevolmente all’interno di sistemi dotati di regole formali e con limiti operativi;
b) esplorazioni e verifiche di proprietà matematiche, rappresentazioni grafiche e calcoli, come momenti che concorrono al processo di apprendimento della matematica.

 

 

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