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Quadrilateri ciclici e geometria sintetica

Guida alla soluzione di un problema riguardante la geometria sintetica e i quadrilateri ciclici.

Si propone un’attività che richiede una discussione in classe – meglio se in presenza, ma va bene anche la formula della didattica a distanza – al fine di approfondire le conoscenze degli studenti riguardo i quadrilateri ciclici e nello stesso tempo di affinare la loro capacità di risoluzione di un problema di geometria sintetica.

Dopo aver richiamato alcune conoscenze e proprietà di base, magari sotto forma di quesiti posti agli studenti, si propone loro un problema. Siccome il problema che proponiamo presenta un alto coefficiente di difficoltà, si offre una guida per la sua risoluzione. È tuttavia frequente la richiesta di intervento da parte degli studenti.

I richiami e le proprietà di base

  • Disponendo di riga e compasso, come si costruisce la circonferenza passante per 3 punti non allineati?
  • Cosa si può dire di due angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco?
  • Quando un quadrilatero si definisce ciclico?
  • C’è una condizione, necessaria e sufficiente, per concludere che un quadrilatero è ciclico: qual è questa condizione?

Il problema

Sia ABC un qualsiasi triangolo e siano P, Q, R tre punti arbitrari presi internamente ai lati BC, CA, AB nell’ordine. Dimostrare che le tre circonferenze passanti per i punti (A, R ,Q), (B, P, R), (C, Q, P) hanno un punto in comune.

Guida alla risoluzione

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