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Maturità 2007. Quesito di Eulero

Il commento sul Quesito di Eulero della traccia PNI.   Da più parti spesso si chiede che i quesiti proposti agli studenti  siano tali da  stimolarne

Il commento sul Quesito di Eulero della traccia PNI.

 

Da più parti spesso si chiede che i quesiti proposti agli studenti  siano tali da  stimolarne la fantasia. siano tali  da indurli, nella risoluzione, ad approcci  personali e creativi invece che  ad applicazione meccanica di formule o di metodi standard, spesso lunghi e noiosi.

Il quesito n. 8 del tema di matematica  dell’ Esame di stato 2007 (PNI)  è il seguente:

A Leonardo Eulero (1707-1783), di cui quest’anno ricorre il terzo centenario della nascita, si deve il seguente problema: «Tre gentiluomini giocano insieme: nella prima partita il primo perde, a favore degli altri due, tanto denaro quanto ne possiede ciascuno di loro. Nella successiva, il secondo gentiluomo perde a favore di ciascuno degli altri due tanto denaro quanto essi già ne possiedono. Da ultimo, nella terza partita, il primo e il secondo guadagnano ciascuno dal terzo gentiluomo tanto denaro quanto ne avevano prima. A questo punto smettono e trovano che ciascuno ha la stessa somma, cioè 24 luigi. Si domanda con quanto denaro ciascuno si sedette a giocare».

Del quesito proponiamo una risoluzione che richiede competenze elementari ( nel senso di scuola elementare):

  • saper calcolare la metà di un numero di due cifre che non superi  42
  • saper eseguire  la  somma  di coppie  di  numeri di due cifre.

Risoluzione proposta:

Preliminarmente osserviamo

  • il gentiluomo che vince raddoppia il denaro che ha in tasca;
  • le vincite sono pagate dal gentiluomo che perde;

La situazione finale è rappresentata dalla seguente tabella

 

  Situazione  Iniziale Dopo la prima partita Dopo la seconda partita Dopo la terza partita
         
Primo gentiluomo       24
Secondo gentiluomo       24
Terzo gentiluomo       24

Per quanto osservato poiché nella terza partita hanno vinto sia il primo che il secondo gentiluomo ciò significa che prima di tale partita ciascuno di essi possedeva la metà di 24 luigi cioè 12 luigi.

Naturalmente ciò che essi hanno vinto ( 12 luigi ciascuno) era posseduto prima della partita dal terzo gentiluomo. Costui ha perduto ed ha dovuto pagare la posta. In sostanza la situazione prima della terza partita è rappresentata dalla seguente tabella.

  Situazione  Iniziale Dopo la prima partita Dopo la seconda partita Dopo la terza partita
         
Primo gentiluomo     12 24
Secondo gentiluomo     12 24
Terzo gentiluomo     48 24

Ragionando in modo analogo si può ricostruire la situazione prima della seconda partita e quindi la situazione iniziale. Tutto può essere rappresentato con la seguente tabella:

  Situazione  Iniziale Dopo la prima partita Dopo la seconda partita Dopo la terza partita
         
Primo  gentiluomo 39 6 12 24
Secondo gentiluomo 21 42 12 24
Terzo  gentiluomo 12 24 48 24

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