Il commento sul Quesito di Eulero della traccia PNI.
Da più parti spesso si chiede che i quesiti proposti agli studenti siano tali da stimolarne la fantasia. siano tali da indurli, nella risoluzione, ad approcci personali e creativi invece che ad applicazione meccanica di formule o di metodi standard, spesso lunghi e noiosi.
Il quesito n. 8 del tema di matematica dell’ Esame di stato 2007 (PNI) è il seguente:
A Leonardo Eulero (1707-1783), di cui quest’anno ricorre il terzo centenario della nascita, si deve il seguente problema: «Tre gentiluomini giocano insieme: nella prima partita il primo perde, a favore degli altri due, tanto denaro quanto ne possiede ciascuno di loro. Nella successiva, il secondo gentiluomo perde a favore di ciascuno degli altri due tanto denaro quanto essi già ne possiedono. Da ultimo, nella terza partita, il primo e il secondo guadagnano ciascuno dal terzo gentiluomo tanto denaro quanto ne avevano prima. A questo punto smettono e trovano che ciascuno ha la stessa somma, cioè 24 luigi. Si domanda con quanto denaro ciascuno si sedette a giocare».
Del quesito proponiamo una risoluzione che richiede competenze elementari ( nel senso di scuola elementare):
- saper calcolare la metà di un numero di due cifre che non superi 42
- saper eseguire la somma di coppie di numeri di due cifre.
Risoluzione proposta:
Preliminarmente osserviamo
- il gentiluomo che vince raddoppia il denaro che ha in tasca;
- le vincite sono pagate dal gentiluomo che perde;
La situazione finale è rappresentata dalla seguente tabella
| Situazione Iniziale | Dopo la prima partita | Dopo la seconda partita | Dopo la terza partita | |
| Primo gentiluomo | 24 | |||
| Secondo gentiluomo | 24 | |||
| Terzo gentiluomo | 24 |
Per quanto osservato poiché nella terza partita hanno vinto sia il primo che il secondo gentiluomo ciò significa che prima di tale partita ciascuno di essi possedeva la metà di 24 luigi cioè 12 luigi.
Naturalmente ciò che essi hanno vinto ( 12 luigi ciascuno) era posseduto prima della partita dal terzo gentiluomo. Costui ha perduto ed ha dovuto pagare la posta. In sostanza la situazione prima della terza partita è rappresentata dalla seguente tabella.
| Situazione Iniziale | Dopo la prima partita | Dopo la seconda partita | Dopo la terza partita | |
| Primo gentiluomo | 12 | 24 | ||
| Secondo gentiluomo | 12 | 24 | ||
| Terzo gentiluomo | 48 | 24 |
Ragionando in modo analogo si può ricostruire la situazione prima della seconda partita e quindi la situazione iniziale. Tutto può essere rappresentato con la seguente tabella:
| Situazione Iniziale | Dopo la prima partita | Dopo la seconda partita | Dopo la terza partita | |
| Primo gentiluomo | 39 | 6 | 12 | 24 |
| Secondo gentiluomo | 21 | 42 | 12 | 24 |
| Terzo gentiluomo | 12 | 24 | 48 | 24 |
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