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Questioni di geometria solida: ieri e oggi

Tra le Questioni del Periodico di Matematiche degli anni di guerra. Geometria solida e condizioni di possibilità di un problema.

Calcolare il volume di un cono circolare retto sapendo che la sua area laterale è equivalente a quella di un cerchio di raggio a e che la distanza fra il centro del cerchio di base e l’apotema del cono è b e trovare le condizioni di possibilità del problema.

Il problema così formulato si trova nella rubrica Questioni del Periodico di Matematiche, il n. 2 del 1942.

La soluzione, invece, come consuetudine, è riportata nel numero successivo, con l’indicazione anche di tutti coloro che avevano inviato soluzioni corrette. Sono gli anni difficili della guerra, ma l’attività di porre e di risolvere problemi sembra costituire un buon diversivo e molti vi s’impegnano con serietà e intelligenza.

«Il problema rientra in una casistica abbastanza diffusa: problemi di geometria solida collegati all’analisi».

È il commento del prof. Nicola Fusco, che continua:

«Si distingue dalle tracce più comuni perché la parte di analisi è, per così dire, nascosta nelle richieste. A prima vista la richiesta di determinare le “condizioni di possibilità” (vecchia dizione per “condizioni di esistenza”) del problema non ha nulla a che vedere con l’uso dell’analisi. Solitamente tali condizioni sono determinate o mediante le condizioni di esistenza di una qualche operazione (di solito radici di indice pari) che viene coinvolta nel procedimento o nelle formule finali o imponendo la positività delle espressioni che corrispondono alle grandezze geometriche incognite. Invece, in questo caso, la determinazione di queste condizioni di possibilità nasconde la risoluzione di un problema di massimo, che deve essere affrontato necessariamente con gli strumenti dell’analisi.

Il problema risulta quindi didatticamente interessante perché, pur non discostandosi troppo dalle formulazioni tradizionali, spinge ad una riflessione su un uso più creativo degli strumenti dell’analisi rispetto ai problemi esplicitamente formulati come di massimo e minimo.

Di seguito riporto una mia proposta di soluzione che si distingue da quella presente nel Periodico per l’uso esclusivo di risultati di geometria elementare nella prima parte. Pertanto tale soluzione risulta alla portata di uno studente del biennio per quanto riguarda la prima richiesta, e richiede esclusivamente la conoscenza della formula di derivazione della potenza intera, per quanto riguarda la seconda.

La soluzione di Nicola Fusco

La soluzione del Periodico n.3/1942

 

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